Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

2.2 Adaptive Basisgenerierung 29
Aus dieser Überlegung wird auch klar, daß Vakuumerwartungswerte in denen nur der
Ein–Teilchen–Operator der zur kinetischen Energie gehört, sowie zu S 2 1 , S2, ...,gehörende
Produkte aus zwei oder mehr Teilchen– und Locherzeugern auftauchen, Null sind.
Etwas schwieriger ist die Situation, wenn man den potentiellen Anteil des Hamiltonoperators
betrachtet. Zwar kann man (2.2.15) wieder umschreiben in
1
4
�
k1k2k3k4
� �
�
k1k2 � ¯ � �
�
V � k3k4 〈0| a1 ···aNa †
k1a† k2ak4ak3a † aνja† ρi N ···a †
1 |0〉 s (1)
ρiνj
, (2.2.20)
aber a † ρi kann nun mit ak3 oder ak4 kontrahiert werden, so daß man eine ganze Reihe
von Termen mit unterschiedlichen Wechselwirkungsmatrixelementen proportional zu s (1)
ρiνj
erhält.
Übersichtlicher wird die Situation wieder, wenn man in (2.2.20) die zu S2 1 bzw. S2 gehörenden
Feldoperatoren und Matrixelemente s (1) s (1)′ bzw. s (2) einträgt. Ähnlich wie oben
müssen dann wieder die beiden Teilchenerzeuger a † ρi und a† ρi ′ mit den Vernichtern ak3 und
ak4 kontrahiert werden. Hieraus wiederum folgt, daß die Zwei–Teilchen–Operatoren, die
zur potentiellen Energie gehören keine Verknüpfung mehr zu S3 1 , S1S2 und S3 herstellen
können.
Die oben für den Ausdruck 〈Φ| He S |Φ〉 angestellten Überlegungen können jetzt auch auf
den Term
� �
�
Φ �a † ν1aρ1He S� �
�
� Φ
(2.2.21)
ausgeweitet werden. Die nun zusätzlich links von H auftretenden Feldoperatoren erhöhen
nun im Vergleich zu (2.2.18) und (2.2.20) die Anzahl der möglichen Kontraktion im Vakuumerwartungswert
der Feldoperatoren. Insbesondere ist für den zur kinetischen Energie
gehörenden Term jetzt ein Link zu S 2 1 bzw. S2 und für den zur potentiellen Energie
gehörenden Term ein Link zu S 3 1, S1S2 und S3 möglich. Analoges gilt für die Gleichung die
durch Multiplikation mit den 2T2L–Konfigurationen entstanden ist (2.2.14). Nur ist die
Anzahl der möglichen Kontraktionen noch größer und es sind Verknüpfungen zu 4T4L–
Konfigurationen möglich (S4 1 , ..., S4).
Bleiben noch die Terme 〈Φ| a † ν1 aρ1e S |Φ〉 und 〈Φ| a † ν1 a† ν2 aρ2aρ1e S |Φ〉. Dain|Φ〉 nur Zu-
stände unterhalb der Fermikante besetzt sind, liefert der erste Term nur die zu a † ν1 aρ1
gehörende Amplitude s (1)
ρ1ν1
s (2)
ρ1ρ2ν1ν2
zurück. Ähnlich ergibt sich für den zweiten Term s(1)
ρ1ν1 s(1)
ρ2ν2 ±
. Die allgemeinen Bestimmungsgleichungen für die S–Amplituden sind unüber-
sichtlich und hier wenig hilfreich. Als Beispiel für die Struktur einer solchen Gleichung ist
in (2.2.22) die Beziehung angegeben, die sich aus (2.2.13) ergibt.