Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

46 Kapitel 4 Technische Aspekte
für Gleichungssysteme) zurückgreifen kann, ist man oft gezwungen selbst Programme zu
entwickeln, mit denen die zur Verfügung stehenden Ressourcen bestmöglichst genutzt
werden können.
Inwieweit eine solche Optimierung möglich ist, hängt stark von der Problemstellung ab
und muß im Einzelnen geprüft werden. In dieser Arbeit wurde speziell für die Berechnung
des Hubbard–Modells mit dem SCGF–Verfahren ein speicheroptimiertes und größtenteils
parallelisiertes Programm entwickelt. Deshalb soll im folgenden anhand einiger Beispiele
auf die nötigen Programmiertechniken eingegangen werden.
4.3.1 Speicheroptimierung
Zur selbstkonsistenten Lösung des SCGF–Verfahrens muß im Verlaufe der Iteration häufig
die Matrix aufgestellt werden, die sich aus der Überführung der Dyson–Gleichung in ein
Eigenwertproblem ergibt. Numerisch gesehen zerfällt die Matrix (2.1.40) in vier relevante
Blöcke, die in (4.3.1) schematisch dargestellt sind.
⎛
⎜
⎝
ε1 0 ··· 0 c1 1 c1 2 ··· c1 0 ε2 ··· 0 c
n
2 1 c2 2 ··· c2 .
0
.
0
. ..
···
.
εm
.
c
.
n
.
m 1 cm 2 ··· cm c
n
1 1 c2 1 ··· cm c
1 E1 0 ··· 0
1 2 c2 2 ··· cm . .
2
.
0
.
E2
.
···
. ..
0
.
c1 n c2 n ··· cm ⎞
⎟
⎠
n 0 0 ··· En
(4.3.1)
Während in (4.3.1) die Zahl der Ein–Teilchen–Energien εi im oberen linken Block der
Matrix zu Beginn bekannt sind, ergeben sich die 2T1L– und 2L1T–Energien im Block
in den beiden übrigen
unten rechts und die dazugehörigen gewichteten Matrixelemente ci j
Blöcken erst im Verlauf der Rechnung. Da sich die Gesamtdimension der Matrix im Verlauf
der Iteration stark ändern kann, ist es wenig sinnvoll bei Programmstart einen geschätzten
Speicherbedarf für alle Einträge der Matrix zu reservieren. Diese Vorgehensweise führt
zwangsläufig dazu, daß man entweder zu wenig Speicher reserviert hat, was zum Programmabbruch
führt, oder man Speicher verschwendet hat, den man dann für andere
Daten nicht mehr verwenden kann. Deswegen sollte nur der tatsächliche Speicherbedarf
zur Laufzeit alloziert werden. Dieser tatsächliche Speicherbedarf ist bei einer N × N–
Matrix jedoch in vielen Fällen nicht N 2 × 8Byte1 , wenn man bestimmte Eigenschaften
der Matrix ausnützt. Insbesondere ist die hier relevante Matrix (4.3.1) symmetrisch und
schwach besetzt. Die Symmetrie der Matrix erlaubt es, nur die Diagonale und alle darüber
1 Auf den meisten Rechnerarchitekturen wird eine doppeltgenaue reelle Zahl mit 8 Byte dargestellt.