Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

2.1 Greensche Funktionen 9
sind die Anregungsenergien eines Systems mit A +1 bzw. A − 1 Teilchen relativ zur
Grundzustandsenergie des A–Teilchensystems. Die Residuen, die zu diesen Polen gehören,
sind die entsprechenden Übergangsamplituden.
Spektralfunktion
Bei Prozessen, in denen ein Teilchen zu einem System hinzugefügt oder entfernt wird 2
spielt die Spektralfunktion eine wichtige Rolle. Für niedrig liegende Anregungen in endlichen
Systemen ist die Spektralfunktion eine Summe gewichteter Deltafunktionen mit
Energieargumenten, die den Polen der Greensfunktion entsprechen. Im diagonalen Fall
sind die Teilchen– und Lochspektralfunktionen gegeben durch
Sh,α(ω) = � ��
�
� ψ N−1
�
�
m
m
�
�
� aα �ψ N 0
Sp,α(ω) = � ��
�
� ψ N+1
�
�
n � a † �
�
α
n
�ψ N 0
�� �� 2
δ(ω − E N 0
�� �� 2
δ(ω − E N+1
n + EN 0
+ EN−1 m ) (2.1.4)
) , (2.1.5)
wobei � � � ψN−1 � �
�
n aα �ψN ��2 �� �
�
0 und � N+1 ψ �
n a † �
�ψ α
N ��2 �
0 Spektroskopische Faktoren genannt werden.
Sie beschreiben die Wahrscheinlichkeit dafür, daß durch Entfernen (Hinzufügen) eines
Teilchens im Ein–Teilchen–Zustand α des N–Teilchensystem der m–te (n–te) Anregungszustand
eines Systems mit einem Teilchen mehr (weniger) und der Energie EN−1 m (EN+1 n )
entsteht. Die volle Spektralfunktion ist demzufolge
Sα(ω) =Sh,α(ω)+Sp,α(ω) . (2.1.6)
Da die Terme der Spektralfunktion Wahrscheinlichkeitsdichten sind, gilt
sowie
� ∞
−∞
S ∗ h,α(ω) =Sh,α(ω) ≥ 0
S ∗ p,α (ω) =Sp,α(ω) ≥ 0
(2.1.7)
dω [Sh,α(ω)+Sp,α(ω)] = 1 . (2.1.8)
Benützt man die Lehmann–Darstellung (2.1.3) und die Integral–Formel
1
x ± iη
2 Z. B. die Kernreaktion 16 O(e, e ′ p) 15 N.
1
= P ∓ iπδ(x) , (2.1.9)
x