Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

84 Kapitel 5 Ergebnisse
1. Bei perfekt antiferromagnetisch angeordneten Elektronen sind keine Plätze doppelt
besetzt. Es gibt keine Repulsion.
2. Da der Energiegewinn aus dem Nearest–Neighbour–Hopping resultiert, ist es besonders
günstig, wenn es allen Elektronen möglich ist, sich nach links und nach rechts
zu bewegen. Diese beidseitige Bewegung ist nur dann möglich, wenn jeder Nachbar
eines Elektrons den zu seinem entgegengesetzten Spin hat.
Es ist also einleuchtend diesen energetisch ausgezeichneten Startzustand für das Lanczos–
Verfahren zu wählen, um auf ihm aufbauend im Verlaufe der Iteration die anderen relevanten
Komponenten der Wellenfunktion zu generieren. Hilfreich ist hierbei auch, daß dieser
symmetrisierte Startzustand schon translationsinvariant ist, so daß diese Symmetrie nicht
erst im Verlaufe der Iteration hergestellt werden muß. Wählt man einen anderen, nicht
translationsinvarianten Startzustand, sind folgerichtig für ein Erreichen von Konvergenz
deutlich mehr Iterationsschritte erforderlich.
Ohne besondere numerische Vorgehensweisen wie Kompression, Parallelisierung und ausnutzen
von Symmetrieeigenschaften ist es relativ problemlos möglich, den Hamiltonoperator
für das eindimensionale Hubbard–Modell bis zu einer Gittergröße von 8 exakt zu
diagonalisieren. Das Lanczos–Verfahren hingegen ermöglicht die quasiexakte Diagonalisierung
bis zu einer Gittergröße von 12, ebenfalls ohne daß besondere numerische Vorgehensweisen
gewählt werden müssen. In Abbildung 5.3.4 ist das Verhalten des tiefsten
Energieeigenwerts in Abhängigkeit der Anzahl der generierten Lanczos–Vektoren für das
eindimensionale Hubbard–Modell für 12 Gitterplätze und halbe Füllung abgebildet. Es ist
deutlich zu erkennen, daß sich der tiefste Energieeigenwert ab ∼ 15 generierten Lanczos–
Vektoren nicht mehr ändert (numerische Konvergenz mit einer Genauigkeit von 10 −4 wird
allerdings erst bei 20 Lanczos–Vektoren erreicht). Man benützt das Erreichen eines konstanten
Werts für den tiefsten Energieeigenwert im Verlaufe der Lanczos–Iteration also
als Konvergenzkriterium, für eine quasiexakte Diagonalisierung. Das Lanczos–Verfahren
ermöglicht so bis zu einer Gittergröße von 12 den Vergleich der exakten Grundzustandseigenschaften
mit den Ergebnissen anderer Näherungen, wie etwa dem im nächsten Abschnitt
folgenden SCGF–Verfahren. Da dort die exakten Resultate bis N = 12 angegeben
sind, werden sie hier nicht diskutiert.
Abschließend sei noch bemerkt, daß eine Verfeinerung der Programmiertechnik des Lanczos–Verfahrens
eine quasiexakte Diagonalisierung auch für größere Cluster ermöglicht. In
der Literatur finden sich viele Arbeiten, die das Lanczos–Verfahren perfektioniert haben
um die zugängliche Gittergröße zu erhöhen. Die wohl wichtigsten Arbeiten auf diesem Gebiet
stammen von Dagotto oder Feng [Dag92a, Dag92b, Dag94, Fen92], denen es erstmals
gelang, das Lanczos–Verfahren erfolgreich für das 4×4–Hubbard–Modell anzuwenden und
die exakte Grundzustandsenergie sowie die Spektralfunktionen für verschiedenen Füllungen
zu bestimmen. Der Hilbertraum für das 4 × 4–Hubbard–Modell hat die Dimension