Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

Kapitel 1. Einleitung 3
endlichen Kernen nur dann möglich, wenn Korrelationen berücksichtigt werden und mit
effektiven Wechselwirkungen gearbeitet wird. Aber auch abseits der Kernphysik spielen
Korrelationen in Vielteilchenproblemen eine wichtige Rolle. Immer dann, wenn komplizierte
Zwei–Teilchen–Wechselwirkungen durch mittlere Ein–Teilchen–Potentiale ersetzt
werden, hat man Korrelationen oder Freiheitsgrade des Systems vernachlässigt und somit
nur einen Teil der Wechselwirkung diagonalisiert. Allerdings sind die Auswirkungen solcher
Näherungen von Fall zu Fall sehr unterschiedlich und in der Kernphysik besonders
drastisch. Auch muß nur in der Kernphysik auf effektive Wechselwirkungen zurückgegriffen
werden. Selbst wenn bei Problemstellungen wie Ising-Ferromagnet, Paarwechselwirkung
von Elektronen, Hubbard–Modell und anderen die mit Mean–Field–Verfahren
erzielten Ergebnisse vernünftiger als in der Kernphysik sind, macht es natürlich auch in
diesen Fällen Sinn Korrelationen zu berücksichtigen, um zu einer konsistent verbesserten
Theorie zu gelangen.
Will man nun in einem Vielteilchensystem Korrelationen berücksichtigen, also über ein
mittleres Ein–Teilchen–Potential hinausgehen, gibt es eine Vielzahl möglicher Ansätze.
Konfigurationsmischungen, also Überlagerungen von Ein–Teilchen–Wellenfunktionen, lassen
sich z. B. durch Variationsrechnungen, Coupled Cluster Methoden (CCM) und Random
Phase Approximation (RPA) oder Störungstheorie herbeiführen. Mit Störungstheorie
ist hier eine diagrammatische Analyse der Greensfunktion gemeint und es zeigt sich, daß
HF und RPA spezielle Terme dieser Störungsreihe sind. Während in der Störungstheorie
die einzelnen Diagramme über ihre Ordnung klassifiziert sind und bei CCM systematisch
bestimmte Konfigurationen auf einer Startwellenfunktion aufgebaut werden, ist ein Variationsansatz
häufig eher intuitiv. So müssen z. B. bei der Generatorkoordinaten–Methode,
die ein spezielles Variationsverfahren darstellt, die beizumischenden Konfigurationen im
Prinzip geraten werden. Zwar gibt es dabei meistens eine Reihe von Plausibilitätsargumenten,
trotzdem entscheidet letztlich das Ergebnis über die Qualität des Ansatzes. Wenn
man wie z. B. in der Kernphysik Kopplungskonstanten der Größenordnung Eins hat, ist
aber auch die Konvergenz der Störungsreihe für die Ein–Teilchen–Greensfunktion nicht
garantiert. Das CCM–Verfahren (auch exp[S]–Verfahren genannt) ist im Grenzfall zwar
sicher mit der exakten Lösung des Problems identisch, unterscheidet sich dann aber auch
in seiner Komplexität nicht mehr von dieser.
Bei all diesen Verfahren ist es daher wichtig, Vergleiche zu exakt lösbaren Problemen
anzustellen um die erzielten Resultate bewerten zu können. Leider sind exakt lösbare
physikalische Probleme selten dergestalt, daß sie auch experimentell beobachtbar sind.
Andersherum haben Objekte wie ein Atomkern oder ein Kristall natürlich eine sehr große
Zahl von Freiheitsgraden und eine exakte Bestimmung der Vielteilchenwellenfunktion ist
illusorisch. Deswegen ist man häufig gezwungen, einfachere Modelle für wenige Teilchen
zu untersuchen, die nur einen Teil der wirklichen Physik beinhalten, dafür aber sowohl mit
Näherungsmethoden als auch exakt beschrieben werden können. Haben die Näherungs-