Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

44 Kapitel 4 Technische Aspekte
Innerhalb des Ein–Meson–Austauschmodells führt dies zu einem kleinen Anteil der NN–
Wechselwirkung, der die Ladungssymmetrie verletzt.
Drei solcher modernen Potentiale wurden in der vorliegenden Arbeit zur Berechnung
der Energieverschiebungen zwischen Neutron– und Proton–Ein–Loch–Zuständen bezogen
auf 16 O und zur Berechnung der totalen Grundzustandsenergie verwendet [Har99]. Im
einzelnen sind das die Potentiale CDBonn96 [Mac96], das hochgenaue CDBonn99 [Mac00]
und das Argonne V18–Potential [Wir95]. Die wichtigsten charakteristischen Größen dieser
Potentiale sind im Anhang A angegeben.
4.2 Besetzungszahldarstellung
In kleineren Modellräumen können sowohl der Paarhamiltonoperator als auch der Hubbard–
Hamiltonoperator exakt diagonalisiert werden. Obwohl die Sachverhalte in beiden Modellen
verschieden sind, können in beiden Fällen die Zustände des Konfigurationsraums auf
sehr ähnliche Art und Weise dargestellt werden. Dazu betrachtet man zunächst erneut
den Modellraum für den Paarhamiltonoperator (3.2.1). Eigenschaft dieses Modellraums
war, daß jeder diskrete HF–Zustand nur mit genau einem oder keinem Nukleonenpaar
besetzt werden kann. Die Vielteilchen–Zustände in der HF–Basis können deswegen mit
Nullen und Einsen gekennzeichnet werden, je nachdem welche diskreten Zustände in der
vorliegenden Konfiguration besetzt oder unbesetzt sind.
Denkt man der Einfachheit halber an einen Modellraum mit vier diskreten Zuständen,
in den zwei Nukleonenpaare auf alle möglichen Arten verteilt werden sollen, so ist leicht
einzusehen, daß
|1100〉 |1001〉 |0110〉 |0101〉 |1010〉 |0011〉 (4.2.1)
eine sinnvolle Darstellung der sich ergebenden sechs Zustände ist. In dieser Darstellung
ist es einfach die Matrix des Paarhamiltonoperators (3.2.1) aufzustellen und zu diagonalisieren.
Auch die Anzahl der möglichen Konfigurationen ist leicht aus dem entsprechenden
Binomialkoeffizienten zu bestimmen. Da für die reine Paarkraft immer zwei Nukleonen
zusammengefaßt werden, kann man den Paarhamiltonoperator noch für eine relativ große
Zahl von Teilchen exakt diagonalisieren.
Etwas anders liegt der Fall für das Hubbard–Modell. Wie erwähnt kann in diesem Fall
jeder Gitterplatz mit einem oder zwei Fermionen besetzt werden. Da der Hubbard–
Hamiltonoperator keinen Spinflip zuläßt, ist es sinnvoll, die Elektronen nach Spin up
und Spin down zu unterteilen. Dies führt in analoger Weise zu einer zweizeiligen Besetzungszahldarstellung.
↑
↓
�
�
�
�
�
1100
1100
� � ����
1010
1001
� � ����
0110
0101
�
··· (4.2.2)