Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

5.2 Paarwechselwirkung 69
Die Resultate für andere Konfigurationen oder Wechselwirkungsstärken unterscheiden
sich nicht prinzipiell von den hier beispielhaft angeführten, weswegen auf die Angabe anderer
Daten verzichtet wird. Weiter ist anzufügen, daß es nicht verwunderlich ist, daß die
Lanczos–Diagonalisierung ein gutes Ergebnis liefert. Wegen der garantierten Konvergenz
ist einzig die Frage interessant, mit wievielen Lanczos–Vektoren man auskommt, wenn
man das exakte Resultat reproduzieren will. Offensichtlich ist das im Fall des Paarhamiltonoperator
mit einer recht geringen Anzahl von Lanczos–Vektoren möglich.
Leider kann man in der Regel jedoch nicht vorhersagen, wieviele Lanczos–Vektoren benötigt
werden, um das exakte Resultat zu reproduzieren. Deswegen sollte man sukzessive mehr
und mehr Lanczos–Vektoren generieren, bis die ermittelte Grundzustandsenergie sich im
Rahmen einer sinnvollen Genauigkeit nicht mehr ändert. Im Idealfall genügt es 10% der
maximal möglichen Anzahl von Basisvektoren zu erzeugen. Somit sind Systeme zugänglich,
die nicht mehr exakt diagonalisiert werden können. Da aber in der Vielteilchentheorie
die Dimension des Konfigurationsraums mit wachsender Teilchenzahl stark zunimmt, ist
auch die Anwendbarkeit der Lanczos–Diagonalisierung begrenzt.
5.2.4Paarkraft und exp[S]–Verfahren
Da der Paarhamiltonoperator kein Aufbrechen der Nukleonenpaare zuläßt, sind hier für
das exp[S]–Verfahren nur die s–Amplituden relevant, die zu 2T2L–, 4T4L–, ...,Anregungen
gehören. Dies vereinfacht die Struktur der gekoppelten Gleichungen für die s–
Amplituden, die man durch Anwenden des Operators e S auf den Startzustand |Φ〉 und
anschließende Projektion erhält. Da die Gleichungen nichtlinear und von der Struktur
f1(s1,...,sn) =0
. (5.2.10)
fn(s1,...,sn) =0
sind, müssen sie mit einem Newton–Verfahren bearbeitet werden. Bei Gleichungen dieser
Form, gibt es keine eindeutige Vorhersage über den Lösungsraum. Numerisch gesehen
ist nicht garantiert, daß man eine Lösung findet oder daß eine gefundene Lösung auch
die physikalisch sinnvolle ist. Dies kann im Zweifelsfall erst anhand der Observablen,
die mit der neu bestimmten korrelierten Wellenfunktion |Ψ〉 berechnet werden können,
entschieden werden. Kriterien für eine sinnvolle Grundzustandslösung sind:
1. Die erzielte Gesamtenergie 〈Ψ |H| Ψ〉 muß kleiner sein als der Wert von 〈Φ |H| Φ〉.
2. Zustände, die zu hohen Ein–Teilchen–Energien gehören sollten nicht stärker besetzt
sein als die, die zu niedrigen Ein–Teilchen–Energien gehören.