Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

2.1 Greensche Funktionen 19
berechnet. Für die Selbstenergie erster Ordnung erhält man so 11
Σ (1)
αβ
�
(ω) =� αγ
γ
�
�
� ¯ V
�
�
� βγ �
Θ(F − εγ) . (2.1.36)
Der Ausdruck für die Selbstenergie zweiter Ordnung ist etwas komplizierter und ergibt
sich zu
Σ (2) 1 �
� �
dω1 dω2
� �
�
αβ (ω) = αµ �
2 γδµ 2πi 2πi
¯ �
�
V � γδ ��
γδ
= 1
2
×
�
γδµ
�
αµ � � � ¯ V � �� γδ ��
γδ � � � ¯ V � �� βµ �
+ εHF δ
�
�
� ¯ V
�
�
� βµ �
g HF
γ (ω − ω1 + ω2)g HF
δ (ω1)g HF
µ (ω2)
δ
(2.1.37)
�
Θ(εγ − F )Θ(εδ − F )Θ(F − εµ)
ω − (εHF γ − εHF µ )
+ Θ(F − εγ)Θ(F − εδ)Θ(εµ − F )
ω − (εHF γ + εHF − εHF µ )
�
.
Die so berechneten Startwerte für die Selbstenergien sind in Abbildung 2.1.7 a) – c)
dargestellt. Diagramm a) stellt Σ (1) dar, während b) und c) zu Σ (2) gehören. Mit den
so gewonnenen Ausdrücken für die Selbstenergien, kann man jetzt die Dyson–Gleichung
(2.1.34) lösen.
Überführung der Dyson–Gleichung in ein Eigenwertproblem
Die Dyson–Gleichung für Σ (2) kann einfacher behandelt werden, wenn man sie in ein
nichtlineares Eigenwertproblem umschreibt. Dazu setzt man die Lehmann–Darstellung
der Greensfunktion (2.1.3) sowie den HF–Propagator (2.1.35) in (2.1.34) ein, multipli-
ziert diese Gleichung mit ω − (E N+1
n
− E N 0 ) und bildet den Grenzwert ω → (E N+1
n
Dadurch erhält man eine Eigenwertgleichung für ωn =(E N+1
n
− EN 0
− E N 0 ).
) , was die Anregungs-
energien des N + 1–Systems relativ zum Grundzustand sind. Diese Eigenwertgleichung
läßt sich schreiben als [Bra90]
� �
δαβε
β
HF
α +Σ (2)
��
αβ (ωn) ψ N+1
�
�
n �a †
�
�
β�
ψ N � �
0 = ωn ψ N+1
n
�
�
�a † �
�
α�
ψ N �
0 . (2.1.38)
In analoger Weise kann man die korrespondierende Gleichung für ωm =(EN 0 − EN−1 m ),
den Energien des N − 1 –Systems herleiten, und erhält
� �
δαβε
β
HF
α +Σ(2)
��
αβ (ωm) ψ N−1
n |aβ| ψ N � �
0 = ωm ψ N−1
n
|aα| ψ N 0
�
. (2.1.39)
Die erhaltenen Eigenwertgleichungen kann man für s = m oder s = n auch in eine
kompakte Matrix–Gleichung umschreiben, wobei die Größe des Modellraums die Anzahl
11 Vgl. (2.1.28).