Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

86 Kapitel 5 Ergebnisse
Konvergenzverhalten
Die im Verlaufe der SCGF–Iteration verwendete Reduktion der sich ergebenden Matrix
mit Hilfe des Lanczos–Verfahrens (siehe z. B. Abbildung 2.1.8 und Kapitel 2.2.2), sorgt
dafür, daß man sich während einer Rechnung immer auf eine bestimmte maximale Polanzahl
für die Greensfunktion beschränkt. Diese Vogehensweise ist unerläßlich, da sonst die
Anzahl der Pole und somit die Dimension der zu diagonalisierenden Matrix explodieren,
und das Verfahren divergent werden würde. Deswegen sollte man die Rechnung für ein bestimmtes
Gitter bei festem U/t für verschiedenen Maximalanzahlen von Polen durchführen
um eine globale Konvergenzaussage machen zu können. In Tabelle 5.3.4 sind die Ergebnisse
für das eindimensionale Hubbard–Modell für verschiedene Maximalanzahlen von
Polen aufgelistet. Die Angabe (p, q) bezieht sich dabei auf die entsprechende BAGEL–
Näherung. So bedeutet die BAGEL–(1, 2)–Näherung, daß für jedes Teilchen neben dem
Quasiteilchen–Pol ein weiterer Pol unter und zwei weitere Pole über der Fermienergie
berücksichtigt werden. Da sich die Angaben in untenstehender Tabelle auf ein Gitter
der Länge 6 beziehen, erhöht sich die Gesamtdimension der mit dem Lanczos–Verfahren
reduzierten Matrix demzufolge jeweils um 6. Würde man die Dimension von Schritt zu
Schritt um weniger als 6 erhöhen wäre dies gleichbedeutend damit, daß nicht für jedes k
(p, q) Ntot (0, 1) 12 (1, 1) 18 (1, 2) 24 (2, 2) 30 (2, 3) 36 (3, 3) 42
εk 〈n↑k〉 〈n↑k〉 〈n↑k〉 〈n↑k〉 〈n↑k〉 〈n↑k〉
-2.0 0.8902 0.8984 0.8977 0.8983 0.8984 0.8983
-1.0 0.7708 0.7840 0.7849 0.7853 0.7862 0.7858
1.0 0.2100 0.2160 0.2127 0.2147 0.2135 0.2142
2.0 0.0931 0.1016 0.1005 0.1017 0.1014 0.1017
1.0 0.2100 0.2160 0.2127 0.2147 0.2135 0.2142
-1.0 0.7708 0.7840 0.7849 0.7853 0.7862 0.7858
E0 -3.3010 -3.3274 -3.3576 -3.3294 -3.3287 -3.3277
Tabelle 5.3.4: Besetzungszahlen und Grundzustandsenergie für das eindimensionale
Hubbard–Modell in Abhängigkeit der Maximalanzahl von Polen in der Ein–Teilchen–
Greensfunktion für 6 Gitterplätze, U/t =4und halbe Füllung. Angaben für εk und E0
in eV.