Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

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14 Kapitel 2 Vielteilchenmethoden α β α = + = β α δ γ β α β Abbildung 2.1.3: Der exakte Propagator in Abhängigkeit der irreduziblen Selbstenergie (schraffierte Flächen). Die Aufsummation aller möglichen Wiederholungen gibt wieder die reduzible Selbstenergie (doppelschraffierte Fläche). Vergleicht man obigen Ausdruck für die Greensfunktion mit dem entsprechenden des freien Propagators (2.1.12), kann man die irreduzible Selbstenergie Σαα(ω) als ein effektives Potential interpretieren, das den Nenner um einen nicht–kinetischen Anteil erweitert, der im allgemeinen komplex und explizit energieabhängig ist. α β = α β + Abbildung 2.1.4: Diagrammatische Darstellung der Dyson–Gleichung. Durch die irreduzible Selbstenergie (schraffierte Fläche) wird ein Zusammenhang zwischen dem exakten Propagator (Doppellinie) und dem freien Propagator (Einfachlinie) hergestellt. + α δ γ β α δ γ β + Σ α δ γ δ ’ γ ’ β + α δ γ δ ’ γ ’ δ ’’ γ ’’ β ...
2.1 Greensche Funktionen 15 2.1.4Die Hartree–Fock Näherung Wie schon erwähnt, ist der einfachste Zugang zu einem Vielteilchenproblem die Annahme, daß sich die Teilchen unabhängig voneinander in einem mittleren Potential (”mean field”) bewegen. Ein solches Potential kann man als den gemittelten Einfluß aller anderen Teilchen auf ein gerade betrachtetes verstehen. Diese Reduktion einer komplizierten Zwei–Teilchen Wechselwirkung 7 auf ein Ein–Teilchen–Potential ist die Grundidee des Hartree–Fock Verfahrens (HF). Vielteilchenprobleme, die ausschließlich mit einem solchen gemittelten Potential gelöst wurden, nennt man oft Systeme ohne Korrelation. Will man die Dyson–Gleichung (2.1.20) in HF–Näherung lösen, entspricht die irreduzible Selbstenergie diesem mittleren Ein–Teilchen Potential. In Abbildung 2.1.5 ist die Dyson–Gleichung in HF–Näherung diagrammatisch dargestellt. Obwohl die HF–Näherung eine drastische Vereinfachung des echten Vielteilchenproblems darstellt, können die HF–Gleichungen nur selbstkonsistent gelöst werden. Dies wird deutlich, wenn man die Ausdrücke für Greensfunktion und irreduzible Selbstenergie betrachtet. G HF αβ � (ω) = gα(ω)+ gα(ω)Σ HF αγ (ω)GHF γβ (ω) (2.1.23) Σ HF � ′ dω αβ (ω) = −i 2π γ � γγ ′ � αγ � � � ¯ V � �� βγ ′ � G HF γγ ′ (ω′ ) (2.1.24) In (2.1.24) steht � αγ � � � �V¯ �� ′ αγ � für antisymmetrisierte Matrixelemente, d. h. Direkter und Austauschterm werden berücksichtigt. Wie man an (2.1.23) sehen kann, ist zur Berechnung des HF–Propagators die Kenntnis der irreduziblen Selbstenergie erforderlich. Diese hängt ihrerseits wieder vom HF–Propagator ab, so daß die Gleichungen nur selbstkonsistent gelöst werden können, etwa indem man in einem ersten Iterationsschritt die Selbstenergie mit dem freien Propagator berechnet und iteriert. Hat man die gekoppelten Gleichungen (2.1.23) und (2.1.24) gelöst, kann man den Propagator in der HF–Basis 8 angeben G HF α − F ) ω − εα − ΣHF α + iη + Θ(F − εα − ΣHF α ) ω − εα − ΣHF . (2.1.25) α − iη α (ω) = Θ(εα +Σ HF Durch die Energieintegration in (2.1.24) ist die Selbstenergie hier zu einer energieunabhängigen Größe geworden. Vergleicht man (2.1.25) mit dem freien Propagator (2.1.12), so sieht man, daß durch die HF–Rechnung nur die Einteilchenenergie modifiziert wurde. 7In der Kernphysik benützt man meistens effektive Zwei–Teilchen Wechselwirkungen. Manchmal werden auch Drei–Teilchen oder höhere Wechselwirkungen untersucht. 8 HF D. h. die Greensfunktion wird diagonal, also Gα (ω) =GHF αβ (ω)δαβ, F� undes gilt Sh,α =1. −∞
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