Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

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108 Kapitel 6 Zusammenfassung und Ausblick Das exp[S]–Verfahren wurde nur für den Paarhamiltonoperator getestet. Es zeigte sich, daß eine Restriktion auf Zwei–Teilchen–Zwei–Loch–Anregungen für kleine Paarkräfte bereits eine deutliche Verbesserung gegenüber der BCS–Theorie bringt. Für größere Paarkräfte bzw. Teilchenzahlen nimmt die Wichtigkeit höherer Anregungen rasch zu, so daß zumindest Vier–Teilchen–Vier–Loch–Anregungen berücksichtigt werden sollten, um akzeptable Resultate zu erzielen. Das exp[S]–Verfahren schien insbesondere für das Paarproblem gut geeignet zu sein, da der Paarhamiltonoperator kein Aufbrechen von Paaren zuläßt und deshalb nur geradzahlige n–Teilchen–n–Loch–Anregungen berücksichtigt werden mußten, was den Rechenaufwand erheblich reduzierte. 6.2 Ausblick Die in dieser Arbeit angewandten Verfahren ergaben für alle untersuchte Problemstellungen eine deutliche Verbesserung gegenüber den leichter handhabbaren Mean–Field– Methoden. Zwar ist es in einigen Jahren infolge verbesserter Großrechner sicher möglich die in dieser Arbeit untersuchten Vielteilchenmethoden auch für größere Konfigurationsräume anzuwenden, interessanter dürfte jedoch sein, diese Verfahren an anderen Problemstellungen zu testen, da nicht zu erwarten ist, daß sich das prinzipielle Verhalten dieser Methoden mit wachsender Teilchenzahl drastisch ändert. So wäre es sicher aufschlußreich, das exp[S]–Verfahren auch für das Hubbard–Modell durchzuführen. Da die Anzahl der Freiheitsgrade beim Hubbard–Modell sehr viel größer ist, als beim Paarproblem gelingt es nicht ohne weiteres die Methodik eins zu eins zu übertragen. Es müßten effiziente Methoden zu Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen entwickelt werden, oder versucht werden, die Entartungen der Ein–Teilchen–Zustände so zu nutzen, daß Klassen von Zuständen zusammengefaßt werden können, um die Anzahl der unbekannten S–Amplituden zu verringern. Auch ist es eventuell denkbar, Monte–Carlo–Methoden mit dem exp[S]–Verfahren zu kombinieren, so daß die S–Amplituden stochastisch und entsprechend ihrer Wichtigkeit erzeugt werden, man sich also auf wenige aber dafür signifikante Anregungen beschränken kann. Desweiteren wäre es sicher auch möglich, das SCGF–Verfahren auf den Paarhamiltonian anzuwenden und zwar mit der BCS–Lösung als Startzustand. Wegen der engen Verwandtschaft der HF–Lösung für das Hubbard–Modell mit der BCS–Lösung für das Paarproblem, ist für letzteres ein ähnlich gutes Ergebnis zu erwarten, wie es beim Hubbard– Modell erzielt werden konnte. Von größtem Interesse wäre schließlich das SCGF–Verfahren auf das nicht halbgefüllte zweidimensionale Hubbard–Modell anzuwenden. Für das halbgefüllte Hubbard–Modell ist das QMC–Verfahren nämlich äußert effizient, da das in QMC–Methoden gefürchtete Vorzeichenproblem keine Auswirkungen hat. Abseits von der Halbfüllung sorgt aber eben dieses Vorzeichenproblem dafür,daßesbeigrößeren Git-
6.2 Ausblick 109 tern nahezu unmöglich wird, vernünftige Ergebnisse zu erzielen. Das SCGF–Verfahren würde so eine Methode darstellen, die in der Lage ist ein System zu beschreiben, daß weder exakt, noch mit Hilfe stochastischer Integration bearbeitet werden kann. Die Wahl antiperiodischer Randbedingungen kann auch beim nicht halbgefüllten Hubbard–Modell eine endliche Energielücke an der Fermikante erzeugen, so daß es keine Probleme mit Entartungen geben und der SCGF–Formalismus anwendbar sein sollte.
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