Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung
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30 Kapitel 2 Vielteilchenmethoden<br />
〈ρ1 |h| ν1〉− �<br />
ν<br />
〈ν |h| ν1〉 s (1)<br />
ρ1ν<br />
+ �<br />
+ 1 �<br />
2 νν ′ �<br />
νν<br />
ρ<br />
′ � �<br />
�<br />
�V¯ �<br />
� ν1ρ �<br />
s (2)<br />
ρρ1νν ′ +<br />
1<br />
2<br />
+ 1<br />
2<br />
νρ<br />
〈ν |T | ρ〉 s (2) 1 �<br />
ρ1ρν1ν +<br />
2 νν ′ �<br />
νν<br />
ρ<br />
′ � �<br />
�<br />
�V¯ �<br />
� νρ �<br />
s (2)<br />
ρ1ρν1ν<br />
�<br />
νν ′ ρρ ′<br />
�<br />
νν ′ ρρ ′<br />
�<br />
νν ′ � � � ¯ V<br />
�<br />
νν ′ � � � ¯ V<br />
�<br />
�<br />
� ρρ ′��<br />
s (1)<br />
ρ ′ νs(2) ρρ1ν1ν ′ + s(1) ρ ′ ν1s(2) ρρ1ν1ν ′<br />
�<br />
Zur Vere<strong>in</strong>fachung der Schreibweise wurde der Ausdruck<br />
〈α |h| ν1〉 = 〈α |T | ν1〉 + �<br />
〈α |T | ρ〉 s<br />
ρ<br />
(1)<br />
� �<br />
+ αν ρν1<br />
ν<br />
� �<br />
�<br />
�V¯ ��<br />
ν1ν �<br />
+ �<br />
ρν<br />
+ �<br />
ρν<br />
�<br />
�<br />
� ρρ ′�<br />
s (3)<br />
ρ1ρρ ′ ν1νν ′ = 0 (2.2.22)<br />
�<br />
αν � � �<br />
�<br />
�V¯ ��<br />
ρν s (1)<br />
�<br />
+ ρν1<br />
νρρ ′<br />
�<br />
αν � �<br />
�<br />
�V¯ �� ′<br />
ρρ ��<br />
s (1)<br />
ρν1s(1) ρ ′ ν + s(2) ρρ ′ �<br />
ν1ν<br />
�<br />
αν � � �<br />
�<br />
�V¯ ��<br />
ρν1 s (1)<br />
ρν<br />
(2.2.23)<br />
e<strong>in</strong>geführt, <strong>in</strong> dem α für e<strong>in</strong>en beliebigen Zustand des Modellraums steht. Offensichtlich<br />
ist schon der explizite Ausdruck für die Projektion auf 1T1L–Konfigurationen (2.2.22)<br />
e<strong>in</strong>igermaßen kompliziert. Deswegen tragen auch die Ausdrücke für die höheren Projektionen<br />
nicht zum Verständnis bei. Dies ist auch nicht erforderlich, da man an (2.2.22)<br />
schon die wesentlichen Eigenschaften der Gleichungen ablesen kann.<br />
• Die Vakuumerwartungswerte von Feldoperatoren s<strong>in</strong>d verschwunden und es tauchen<br />
nur noch Matrixelemente der k<strong>in</strong>etischen und potentiellen Energie, sowie die s–<br />
Amplituden auf.<br />
• Die Gleichungen s<strong>in</strong>d nichtl<strong>in</strong>ear und gekoppelt.<br />
• Die Gleichungen haben e<strong>in</strong>e hierarchische Struktur. Die Beziehungen für die s (n) –<br />
Amplituden hängen von den s (n+1) – und s (n+2) –Amplituden ab.<br />
Wenn man die s–Amplituden nicht bis zur höchst möglichen Ordnung (n = N) bestimmen<br />
will, erfordert der letzte Punkt, daß man die Hierarchie der Gleichungen aufbricht, <strong>in</strong>dem<br />
manabe<strong>in</strong>embestimmtennj alle s–Amplituden <strong>mit</strong> n>nj gleich Null setzt. Ab welcher<br />
Ordnung man die Hierarchie abbrechen kann, ist ad hoc nicht vorhersagbar und muß<br />
anhand der Resultate überprüft werden.<br />
Als Ergebnis e<strong>in</strong>er exp[S] –Rechnung erhält man die s –Amplituden bis zur gewählten<br />
Ordnung, die e<strong>in</strong>em e<strong>in</strong>e näherungsweise Berechnung der Wellenfunktion über (2.2.1)<br />
ermöglichen. Mit ihr können dann alle Observablen gemäß<br />
�<br />
� � Ψ<br />
Ô =<br />
� �<br />
�Ô � �<br />
�<br />
� Ψ<br />
(2.2.24)<br />
〈Ψ|Ψ〉<br />
berechnet werden.
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