Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

32 Kapitel 2 Vielteilchenmethoden
BAGEL-Verfahren
Wenn man die Gesamtmatrix des Hamiltonoperators nicht aufstellen kann oder will, kann
die Reduktion der Matrixdimension auch eleganter durchgeführt werden, indem man sukzessive
Zustände des gesamten Konfigurationsraums erzeugt. Dazu bedient man sich aber
nicht einfach der algebraischen Matrix–Vektor–Multiplikation, sondern betrachtet direkt
die Wirkung des Hamiltonoperators auf einen physikalischen Startzustand |α0〉, der z. B.
der HF-Grundzustand oder irgend ein sinnvoller Zustand des Konfigurationsraums sein
kann. Wenn |α0〉 nicht Eigenzustand zu H ist, was eine notwendige Bedingung für die
Durchführbarkeit des Verfahrens ist, erzeugt die Anwendung von H auf |α0〉 einen neuen
Zustand
Mit
H |α0〉 = |β1〉 . (2.2.29)
|α1〉 = |β1〉−〈α0|β1〉|α0〉 = H |α0〉−〈α0 |H| α0〉|α0〉 (2.2.30)
und geeigneten Normierungskonstanten d0 und c1 kann der Zustand |β1〉 in
|β1〉 = H |α0〉 = d0 |α0〉 + c1 |α1〉 (2.2.31)
umgeschrieben werden, was bedeutet, daß er in eine Komponente in Richtung von |α0〉
und eine Komponente orthogonal dazu zerlegt wurde. Für |α0〉 wurde die Normierungskonstante
mit d bezeichnet, da d0 |α0〉 gerade der Diagonalanteil von H |α0〉 ist. Eine
neuerliche Anwendung des Hamiltonoperators auf |α1〉 liefert dann einen zu |α0〉 und |α1〉
orthogonalen Zustand
|α2〉 = H |α1〉−〈α0 |H| α1〉|α0〉−〈α1 |H| α1〉|α1〉 . (2.2.32)
Mit Beziehung (2.2.31) und reellen Koeffizienten d0 und c1 findet man
〈α0 |H| α1〉 = {d0 〈α0| + c1 〈α1|} |α1〉 = c1 , (2.2.33)
womit man zusammen mit den geeigneten Normierungskonstanten d1 und c2 Gleichung
(2.2.32) umformuliert in
H |α1〉 = c1 |α0〉 + d1 |α1〉 + c2 |α2〉 . (2.2.34)
Diese Prozedur wird für jeden neu erzeugten Zustand wiederholt, so daß man einen Satz
von BAGEL–Vektoren |α〉 erzeugen kann, für die allgemein die Rekursionsformel
H |αi〉 = ci |αi−1〉 + di |αi〉 + ci+1 |αi+1〉 (2.2.35)