Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

18 Kapitel 2 Vielteilchenmethoden
Abbildung 2.1.6: Untersuchte Beiträge zur Selbstenergie erster und zweiter Ordnung
Explizit ergibt sich für den Beitrag erster Ordnung 9
Σ (1)
� ′ dω
αβ (ω) = −i
2π
�
γγ ′
�
αγ � � � ¯ V � �� βγ ′ �
Gγγ ′(ω′ ) . (2.1.32)
Die beiden Terme zweiter Ordnung kann man in einen Ausdruck zusammenfassen
Σ (2)
αβ
= 1
2
�
γδµγ ′ δ ′ µ ′
� �
dω1 dω2
� �
�
αµ �
2πi 2πi
¯ �
�
V � γ ′ δ ′��
�
�
γδ � ¯ �
�
V � βµ ′�
× Gγγ ′(ω − ω1 + ω2)Gδδ ′(ω1)Gµµ ′(ω2) .
(2.1.33)
Die Summation über die Quantenzahlen γ,δ,... ist hier auf die Zustände des Modellraums
beschränkt. Die zur Berechnung der Selbstenergiebeiträge benötigte Ein–Teilchen
Greensfunktion Gαβ(ω) ist Lösung der Dyson–Gleichung 10
Gαβ(ω) =g HF
α (ω)δαβ + �
γ
g HF
α (ω)Σ (2)
αγ Gγβ(ω) . (2.1.34)
In (2.1.34) ist g HF
α (ω) bereits aus den Selbstenergiebeiträgen erster Ordnung Σ(1) bestimmt
worden. Die Gleichungen (2.1.32) bis (2.1.34) hängen wiederum alle voneinander
ab. Ziel des SCFG–Verfahrens ist es nun, diesen Satz gekoppelter Gleichungen selbstkonsistent
zu lösen.
Startwerte für die Selbstenergie
In einem ersten Iterationsschritt werden (2.1.32) und (2.1.34) mit dem HF–Propagator
g HF
α
= Θ(εHF α − F )
ω − εHF Θ(F − εHF α
+
+ iη )
ω − εHF − iη
α
α
(2.1.35)
9Will man Kerne mit realistischer Nukleon–Nukleon–Wechselwirkung berechnen, ist in den Ausdrücken
für die Selbstenergiebeiträge ¯ V durch G zu ersetzen.
10Da die HF–Greensfunktion bis auf die modifizierte Ein–Teilchen–Energie einem freien Propagator
entspricht, wirdsie in der Folge mit gHF α (ω) bezeichnet.