Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

22 Kapitel 2 Vielteilchenmethoden
Die übrigen Zeilen kann man schreiben als
beziehungsweise
ν�
q=α
ν�
q=α
a q
i X s,q
0 + EiY s s
i = ωsYi (2.1.46)
b q
jX s,q
0 + ˜ EjZ s j = ωsZ s j . (2.1.47)
Die Gleichungen (2.1.46) und (2.1.47) löst man nun nach Y s
i bzw. Zs j
Y s
i =
ν�
a q
i X s,q
0
q=α ωs − Ei
auf und erhält
(2.1.48)
sowie
Z s ν� b
j =
q=α
q
jX s,q
0
ωs − ˜ Ej
. (2.1.49)
Letztere Beziehungen für Y s
i und Zs j setzt man jetzt wieder, exemplarisch für p = α, in
Gleichung (2.1.45) ein und findet
⎡
ν�
⎣ε
q=α
HF
k� a
α δqα +
i=1
α i aqi
ωs − Ei
l� b
+
j=1
α j b q
j
ωs − ˜ ⎤
⎦ X
Ej
s,q
0 = ωsX s,α
0 . (2.1.50)
Benützt man nun die Definitionen für Ei ( ˜ Ej) sowieai (bj) und vergleicht die Summen innerhalb
der Klammern mit dem Ausdruck für die Selbstenergie zweiter Ordnung (2.1.34),
erkennt man, je nachdem ob s = n oder s = m gilt, die Ausdrücke (2.1.38) bzw. (2.1.39)
wieder12 , sofern man X s,q
0 mit �
ψN+1 �
�
n �a † �
�
q�
ψN �
0 bzw. �
ψN−1 m |aq| ψN �
0 identifiziert [Mue93a].
Die Lösung der Dyson–Gleichung, also die Lösung des Eigenwertproblems (2.1.40) ergibt
nun eine nicht–triviale Multipol–Greensfunktion, die man in der Lehmann–Darstellung
erhält
Gαβ(ω) = �
X
s
s,α
0 X s,β
� �
Θ(ωs − F ) Θ(F − ωs)
0
+ . (2.1.51)
ω − ωs + iη ω − ωs − iη
Da die Ein–Teilchen–Zustände an die 2T1L– und 2L1T–Konfigurationen des Modellraums
gekoppelt wurden, verteilt sich die Ein–Teilchen–Stärke hier auf viele Pole. Die
Gesamtstärke des Zustands α unterhalb der Fermikante ergibt sich jetzt zu
nα = �
n
Θ(F − ωn)(X n,α
0 ) 2
(2.1.52)
und ist ungleich eins. Konsequenz davon ist, daß auch Teilchen–Zustände eine nicht verschwindende
Besetzungswahrscheinlichkeit haben.
12 1
bis auf den Faktor 2
, der von den Feynman–Regeln herrührt und durch geschicktes aufstellen der
Matrix (2.1.40) berücksichtigt wird.