Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

108 Kapitel 6 Zusammenfassung und Ausblick
Das exp[S]–Verfahren wurde nur für den Paarhamiltonoperator getestet. Es zeigte sich,
daß eine Restriktion auf Zwei–Teilchen–Zwei–Loch–Anregungen für kleine Paarkräfte bereits
eine deutliche Verbesserung gegenüber der BCS–Theorie bringt. Für größere Paarkräfte
bzw. Teilchenzahlen nimmt die Wichtigkeit höherer Anregungen rasch zu, so daß
zumindest Vier–Teilchen–Vier–Loch–Anregungen berücksichtigt werden sollten, um akzeptable
Resultate zu erzielen. Das exp[S]–Verfahren schien insbesondere für das Paarproblem
gut geeignet zu sein, da der Paarhamiltonoperator kein Aufbrechen von Paaren
zuläßt und deshalb nur geradzahlige n–Teilchen–n–Loch–Anregungen berücksichtigt werden
mußten, was den Rechenaufwand erheblich reduzierte.
6.2 Ausblick
Die in dieser Arbeit angewandten Verfahren ergaben für alle untersuchte Problemstellungen
eine deutliche Verbesserung gegenüber den leichter handhabbaren Mean–Field–
Methoden. Zwar ist es in einigen Jahren infolge verbesserter Großrechner sicher möglich
die in dieser Arbeit untersuchten Vielteilchenmethoden auch für größere Konfigurationsräume
anzuwenden, interessanter dürfte jedoch sein, diese Verfahren an anderen Problemstellungen
zu testen, da nicht zu erwarten ist, daß sich das prinzipielle Verhalten
dieser Methoden mit wachsender Teilchenzahl drastisch ändert. So wäre es sicher aufschlußreich,
das exp[S]–Verfahren auch für das Hubbard–Modell durchzuführen. Da die
Anzahl der Freiheitsgrade beim Hubbard–Modell sehr viel größer ist, als beim Paarproblem
gelingt es nicht ohne weiteres die Methodik eins zu eins zu übertragen. Es müßten
effiziente Methoden zu Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen entwickelt werden,
oder versucht werden, die Entartungen der Ein–Teilchen–Zustände so zu nutzen, daß
Klassen von Zuständen zusammengefaßt werden können, um die Anzahl der unbekannten
S–Amplituden zu verringern. Auch ist es eventuell denkbar, Monte–Carlo–Methoden mit
dem exp[S]–Verfahren zu kombinieren, so daß die S–Amplituden stochastisch und entsprechend
ihrer Wichtigkeit erzeugt werden, man sich also auf wenige aber dafür signifikante
Anregungen beschränken kann.
Desweiteren wäre es sicher auch möglich, das SCGF–Verfahren auf den Paarhamiltonian
anzuwenden und zwar mit der BCS–Lösung als Startzustand. Wegen der engen Verwandtschaft
der HF–Lösung für das Hubbard–Modell mit der BCS–Lösung für das Paarproblem,
ist für letzteres ein ähnlich gutes Ergebnis zu erwarten, wie es beim Hubbard–
Modell erzielt werden konnte. Von größtem Interesse wäre schließlich das SCGF–Verfahren
auf das nicht halbgefüllte zweidimensionale Hubbard–Modell anzuwenden. Für das halbgefüllte
Hubbard–Modell ist das QMC–Verfahren nämlich äußert effizient, da das in
QMC–Methoden gefürchtete Vorzeichenproblem keine Auswirkungen hat. Abseits von
der Halbfüllung sorgt aber eben dieses Vorzeichenproblem dafür,daßesbeigrößeren Git-