Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

5.3 Hubbard–Modell 75
Der Summationsindex 〈ij〉 steht für Nearest–Neighbour–Hopping und bezieht sich, je
nachdem ob das ein– oder zweidimensionale Hubbard–Modell untersucht wird, auf die
zwei oder vier nächsten Nachbarplätze eines jeden Gitterpunkts. Das Hubbard–Modell
hat, trotz des vergleichsweise einfach anmutenden Hamiltonoperators, einen hochkorrelierten
Grundzustand und stellt ein kompliziertes Vielteilchenproblem dar, das nur für
Spezialfälle exakt diagonalisiert werden kann.
5.3.1 Das HF–Verfahren für das Hubbard–Modell
Das Prinzip einer HF–Rechnung besteht darin, einen Zwei–Teilchen–Operator durch einen
Ein–Teilchen–Operator zu approximieren. Wie dies geschieht, ist von Fall zu Fall unterschiedlich.
Der zweite Term des Hubbard–Hamiltonians,
H2 = U �
a † †
↑ia↑ia ↓ia↓i = U �
n↑in↓i , (5.3.2)
i
enthält den hier relevanten Zwei–Teilchen–Operator. Um diesen Operator durch einen
Ein–Teilchen–Operator zu approximieren, benützt man zunächst die Identität [Dag94]
i
nσi = 〈nσi〉 +(nσi −〈nσi〉) (5.3.3)
und nimmt dann an, daß der Term in Klammern ’klein’ ist. Nun setzt man die Beziehung
(5.3.3) für Spin up und Spin down in H2 ein, vernachläßigt den in (nσi −〈nσi〉)
quadratischen Term und erhält
U �
n↑in↓i � U
i
�
〈n↑i〉 n↓i + 〈n↓i〉 n↑i −〈n↓i〉〈n↑i〉 . (5.3.4)
i
Der Zwei–Teilchen–Operator H2 ist so zu einer Summe zweier Ein–Teilchen–Operatoren
geworden. Um nun eine HF–Rechnung durchzuführen, muß man einen geeigneten Startwert
für 〈nσi〉 wählen. Bei gleichviel Elektronen wie Gitterplätzen scheint die Annahme
〈n↑i〉 = 〈n↓i〉 =0.5 (5.3.5)
vernünftig zu sein. Bei einer genauen Analyse des Rechenaufwands und der erzielten Ergebnisse,
stellt sich jedoch heraus, daß antiferromagnetisch angeordnete Elektronen näher
an der Realität liegen. Dieser Sachverhalt ist für das ein– und zweidimensionale Hubbard–
Modell in den Abbildungen 5.3.1 und 5.3.2 dargestellt. Eine perfekte antiferromagnetische
Anordnung ist im eindimensionalen Hubbard–Modell nur bei einer geraden Anzahl von
Gitterpunkten bei halber Füllung und im zweidimensionalen Hubbard–Modell nur bei
einem quadratischen Gitter mit geradzahliger Kantenlänge und ebenfalls halber Füllung
möglich. Mathematisch kann dieser Sachverhalt mit den beiden Gleichungen
〈n↑i〉−〈n↓i〉 = (−1) �i m
〈n↑i〉 + 〈n↓i〉 = 1
(5.3.6)