Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

2.2 Adaptive Basisgenerierung 33
gilt [Lan50, Wil65]. Der Hamiltonoperator soll nun in der Basis der BAGEL–Vektoren
diagonalisiert werden. Da die Rekursionsformel nur von zwei Außerdiagonalelementen
abhängt und die Werte der Matrixelemente 〈αj |H| αk〉 durch die entsprechende Multiplikation
der Rekursionsformel von links mit 〈αj| schon so gut wie bestimmt sind, erhält
man eine tridiagonale, symmetrische Matrix der Form
⎛
⎜
⎝
d0 c1 0 ··· ··· 0
c1 d1 c2 0 ··· 0
0 c2 d2
. ..
c3
. ..
···
. ..
0
.
0 ··· ··· cn−2 dn−2 cn−1
0 ··· ··· 0 cn−1 dn−1
.
⎞
⎟
⎠
, (2.2.36)
wobei n die Anzahl der erzeugten BAGEL–Vektoren ist. Eine Diagonalisierung dieser
tridiagonalen Matrix ergibt ein Näherungslösung für die Diagonalisierung des Hamiltonoperators
im Raum aller Konfigurationen des Vielteilchensystems.
Der Vorteil dieser Vorgehensweise ist, daß man nie die Gesamtmatrix des Hamiltonoperators
speichern muß, sondern immer nur höchstens drei der BAGEL–Vektoren gleichzeitig,
aus deren Vorfaktoren sich dann auch sofort die entsprechenden Einträge der zu diagonalisierende
tridiagonale Matrix ergeben. Will man hingegen eine Näherung für die Wellenfunktion
des Systems in der ursprünglichen Basis, müssen für die Rücktransformation
alle BAGEL–Vektoren bekannt sein. Dies ist für die Berechnung von Erwartungswerten,
wie z. B. der Grundzustandsenergie, aber nicht nötig.
Zum Schluß sei noch angemerkt, daß sich das eben erklärte BAGEL–Verfahren mathematisch
nicht von der oben besprochenen Reduktion der Matrixdimension unterscheidet.
Technisch gesprochen besteht aber ein Unterschied darin, ob der ursprüngliche Hamiltonoperator
schon in Matrixform vorliegt und die Diagonalisierung durch Reduktion beschleunigt
werden soll, oder der Hamiltonoperator sowieso noch aufgestellt werden muß
und eventuell die zu erwartende Dimension so groß ist, daß das BAGEL–Verfahren sinnvollerzuseinscheint.Darüberhinaus
kann die Reduktion der Matrixdimension für jede
beliebige Matrix durchgeführt werden, die in Form von numerischen Werten vorliegt.
Hingegen muß im Fall des BAGEL–Verfahrens ein Operator (in diesem Fall H) und seine
Wirkung auf die Zustände des Modellraums bekannt sein.