Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

Anhang B
QMC–Formalismus
Hier sollen die wichtigsten Punkte einer QMC–Rechnung in der Pfadintegralformulierung
kurz skizziert werden. Detailliertere Darstellungen finden sich in der Literatur [Koo97,
Lan93, Nig99, Rom98, Rom97].
Hat man einen beliebigen Vielteilchen–Hamiltonoperator H, versucht man einen handhabbaren
Ausdruck für den imaginären Zeitentwicklungsoperator
U = e −βH
(B.1)
zu finden. β hat hier die Einheit inverse Energie, so daß β −1 als imaginäre Zeit aufgefaßt
werden kann. Zwar kann U auch als der Boltzmann–Operator für die Temperatur β −1
aufgefaßt werdem, trotzdem soll er im folgenden als Entwicklungsoperator bezeichnet
werden. Ist β>0 spricht man vom ’thermalen’ Formalismus, geht β →∞vom ’zero–
temperature’–Formalismus und für die Zustandsfunktion gilt
Z =Tre −βH . (B.2)
Der Erwartungswert eines beliebigen Operators berechnet sich nun nach
〈O〉 = 1 �
Tr Oe
Z −βH�
. (B.3)
Dabei ist die Spur Tr über die kanonische oder großkanonische Teilchenzahl zu bilden. Im
’zero–temperature’–Formalismus beginnt man mit einer Testwellenfunktion ψ0 und verwendet
den Entwicklungsoperator, um den Grundzustand herauszuprojizieren. Voraussetzung
dafür ist, daß ψ0 nicht orthogonal zum Grundzustand ist. Für den Erwartungswert
des Operators O erhält man so
〈O〉 = lim
β→∞
� �
� β
−
ψ0 �e 2 H β
− Oe 2 H� �
�
� ψ0
〈ψ0 |e −βH | ψ0〉
113
. (B.4)