Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

38 Kapitel 3 Modelle und Modellräume
eines zu I = 0 gekoppelten Paars zwei Vielteilchenzustände ineinander überführt werden
können. Dieser Paarhamiltonoperator kann in einem sehr einfachen diskreten Modellraum
untersucht werden, der in Abbildung 3.2.1 dargestellt ist. Zusätzlich kann angenommen
werden, daß die Ein–Teilchen–Zustände äquidistant sind. Wichtig ist, daß jeder diskrete
Zustand nur mit einem Teilchenpaar besetzt werden kann. Ein Aufbrechen der Paare ist
mit dem speziellen Paarhamiltonoperator (3.2.1) nicht möglich. Daraus folgt, daß die Dynamik
des Systems auf eine Verschiebung von Paaren im Modellraum beschränkt ist. Der
Effekt des Verschiebens von Paaren ist, daß man bei |G| �= 0 eine nichtverschwindende
Besetzungswahrscheinlichkeit für alle Zustände des Modellraums erhalten kann, da |G|
dafür sorgt, daß Ein–Teilchen–Zustände über der Fermikante energetisch abgesenkt werden.
Die Größenordnung von |G| muß dabei mit dem Levelabstand der diskreten Zustände
vergleichbar sein, da die Grenzfälle |G| =0oder|G| −→∞nicht interessant sind.
Die Tatsache, daß nur Paare von Nukleonen bewegt werden können sorgt für einen relativ
kleinen Konfigurationsraum, so daß eine exakte Lösung des Problems für eine nicht allzu
große Teilchenzahl durch direkte Diagonalisierung des Hamiltonoperators möglich ist.
Darüberhinaus hat man die überaus erfolgreiche BCS–Theorie [BCS57] an der Hand, die
speziell für das Paarproblem entwickelt wurde.
Auch die in dieser Arbeit untersuchten Vielteilchenmethoden können gut am Paarhamiltonoperator
getestet werden und die Existenz einer exakten Lösung durch direkte
Diagonalisierung oder durch den auf gruppentheoretischen Überlegungen basierenden
Richardson–Ansatz [Ric61, Che73, Ric77], ermöglicht eine sinnvolle Beurteilung der mit
den diversen Näherungsmethoden erzielten Ergebnisse.
3.3 Das Hubbard-Modell
Das Hubbard-Modell ist ein einfacher Ansatz zur Beschreibung des Verhaltens von Elektronen
in einem Festkörper [Yos96]. Befinden sich Atome in einem Kristallgitter, spüren
die Valenzelektronen den Einfluß der Nachbaratome. Dadurch werden die Orbitale der
Valenzelektronen im Vergleich zu denen freier Atome modifiziert was für den Zusammenhalt
des Festkörpers verantwortlich ist. In Metallen und Halbleitern könnensichdiese
Valenzelektronen im gesamten Kristallverbund bewegen und zu Leitungselektronen werden.
Im Hubbard-Modell werden die Atome auf Gitterpunkte reduziert und das dynamische
Verhalten nur durch die an den Gitterpunkten lokalisierten Orbitale der Valenzelektronen
beschrieben.
Bezeichnet man ein solches lokalisiertes Elektronenorbital mit φj(r), wobei j der Index
eines Gitterpunktes ist, so kann man den Hamiltonoperator, der die Wechselwirkung der