Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

3.3 Das Hubbard-Modell 41
Spin up Energie
Spin down
4
2
0
-2
-4
Abbildung 3.3.3: Ein–Teilchen–Spektrum des 4 × 4 Hubbard–Modells für U =0.
Die beschriebenen Restriktionen auf ein Leitungsband, ”Nearest–Neighbour–Hopping”
mit konstantem t und Repulsion nur zwischen zwei auf dem selben Gitterplatz sitzenden
Elektronen, wird auch als ’minimales Hubbard–Modell’ bezeichnet und alle Untersuchun-
gen in dieser Arbeit beschränken sich auf diesen Fall. Mit Hilfe des Operators nσi = a †
σiaσi
ist der minimale Hubbard–Hamiltonoperator gegeben durch
H = t �
i
�
a †
↑ia↑i±1 + a †
↓ia↓i±1 �
+ U �
n↑in↓i . (3.3.7)
Obwohl der minimale Hubbard–Hamiltonoperator relativ einfach aussieht, hat man mit
allen Schwierigkeiten der Vielteilchentheorie zu kämpfen. So sieht man sich mit der Ununterscheidbarkeit
der Teilchen und einem stark mit der Anzahl der Gitterpunkte anwachsenden
Konfigurationsraum konfrontiert. Darüberhinaus kommutieren die Ein– und
Zwei–Teilchenoperatoren des Hamiltonoperators nicht, so daß man es mit einem hochkorrelierten
Grundzustand zu tun hat. In sehr kleinen Modellräumen kann das ein- und
zweidimensionale minimale Hubbard–Modell exakt diagonalisiert werden. Solche kleinen
Systeme sind aber weit davon entfernt, das Verhalten eines makroskopischen Festkörpers
auch nur annähernd zu beschreiben. Für das eindimensionale Hubbard–Modell existiert
ein von der Größe des Gitters unabhängige exakte Lösung, der sogenannte Bethe–Ansatz
[Lie68, Yos96].
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