Vielteilchentheorien in Modellräumen mit diskreter Darstellung

Anhang B. QMC–Formalismus 115
eingeführt wurden. Für den Grenzfall unendlich vieler Zeitschritte ist Gleichung (B.8)
exakt. In der Praxis hat man jedoch immer eine endliche Zahl von Zeitschritten, so daß
die Näherung nur in der Ordnung ∆β gültig ist.
Das Umschreiben des Entwicklungsoperators U als Pfadintegral, kann eine Berechnung
von Observablen ermöglichen. Falls die Oα Dichteoperatoren sind, ist (B.1) eine Exponentialfunktion
von Zwei–Teilchen–Operatoren, die auf eine Slaterdeterminante wirkt und so
eine Summe vieler Slaterdeterminanten erzeugt. Im Gegensatz dazu enthält die Pfadintegralformulierung
(B.8) nur Ein–Teilchen–Operatoren im Exponenten, was dafür sorgt, daß
jeweils eine Slaterdeterminante in eine andere überführt wird. Anstatt mit einer großen
Anzahl von Slaterdeterminanten umgehen zu müssen, hat man so zu jedem Zeitpunkt
nur mit einer Slaterdeterminante zu rechnen. Diese Vereinfachung muß man sich aber mit
der Bestimmung eines hochdimensionalen Integrals über die Hilfsfelder (’auxiliary fields’)
erkaufen.
Die Berechnung diese komplizierten Integrals, zumindest wenn man keine sehr kleine Anzahl
von Hilfsfeldern σαn hat, ist nur mit stochastischen Methoden, wie etwa einer Monte–
Carlo–Integration, möglich. Definiert man sich den Ein–Teilchen–Entwicklungsoperator
Uσ (β,0) = lim
Nt �
Nt→∞
n=1
exp (−∆βhσ (τn)) , (B.12)
so erhält man für den Erwartungswert des Operators O aus (B.4)
�
D [σ] G(σ) 〈O(σ)〉 ξ(σ)
〈O〉 = �
D [σ] G(σ)ξ(σ)
mit
und
(B.13)
ξ(σ) =〈ψ0 |Uσ (β,0)| ψ0〉 (B.14)
� � �
�
ψ0 �Uσ β,
〈O(σ)〉 =
β
� �
β
OUσ 2
2 , 0�� �
�
� ψ0
. (B.15)
〈ψ0 |Uσ (β,0)| ψ0〉
Um (B.13) mit Monte–Carlo–Techniken zu berechnen, sollte man eine normierbare Gewichtsfunktion
Wσ sowie einen Satz statistisch unabhängiger Hilfsfelder {σi} wählen, so
daß die Wahrscheinlichkeit ein Feld mit den Werten σi zu finden Wσi ist. Definiert man
die Wirkung
Sσ = �
α
1
2 |Vα|
�β
0
dτσα(τ) 2 − ln ξ(σ) , (B.16)