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Exemple Pour montrer qu’un prédicat P est vrai pour tout élément de S (transp. 119), il faut montrer : ◮ que P(λ) est vrai et ◮ que P(0x1), P(1x0) et P(xy) sont vrais dès que P(x) et P(y) sont vrais. Réécriture de la démonstration du transp. 120 : Soit P(s) =”s contient autant de 0 que de 1”. Montrons pas induction structurelle que P(s) est vrai pour tout s ∈ S. Cas de base : P(λ) est vrai trivialement. Cas inductifs : Si x et y contiennent autant de 1 que de 0, c’est aussi le cas de 1x0, 0x1 et xy. Par le principe d’induction structurelle, on en conclut que P(s) est vrai pour tout s ∈ S. 122
Un exemple (un peu) plus compliqué Définition : Soit un sous-ensemble de chaînes de caractères sur l’alphabet {M, I, U} défini de manière récursive comme suit, et appelé le système MIU : ◮ Cas de base : MI ap<strong>par</strong>tient au système MIU ◮ Cas récursifs : 1. Si xI est dans le système MIU, où x est une chaîne, alors xIU est dans le système MIU. 2. Si Mx est dans le système MIU, où x est une chaîne, alors Mxx est le système MIU. 3. Si xIIIy est dans le système MIU, où x et y sont deux chaînes (potentiellement vides), alors xUy est dans le système MIU. 4. Si xUUy est dans le système MIU, où x et y sont deux chaînes (potentiellement vides), alors xUy est dans le système MIU. MUIU ap<strong>par</strong>tient-il au système MIU ? Qu’en est-il de MU ? Source : Douglas Hofstadter, Gödel, Escher, Bach (New York : Basics Books), 1979. 123
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Partie 1 Techniques de preuves et a
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Propositions Définition : Une prop
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Prédicats Définition : Une propos
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Autres types de proposition ◮ Un
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Exemples de démonstrations Théor
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Schémas de preuves classiques Quel
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Implications Deux méthode pour pro
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Si et seulement si : exemple Théor
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Preuve par cas On va traiter les de
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Exemple Théorème : √ 2 ∈ R\Q.
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Écrire de bonnes démonstrations E
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Découpage + glissement de 2 unité
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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Un ensemble bien ordonné plus comp
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Un modèle pour les démonstrations
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Cas inductif : Supposons que P(n) s
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On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
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Une démonstration par induction er
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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Divisons la terrasse en 4 quadrants
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Induction forte Principe d’induct
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Exemple : hauteurs des piles score
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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Plan 1. Introduction 2. Langage des
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Un langage de programmation simple
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Sémantique opérationnelle : état
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Sémantique opérationnelle : assig
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Sémantique opérationnelle : condi
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Synthèse de la sémantique opérat
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Illustration Si on note l’état d
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Déterminisme Lemme (déterminisme)
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Boucle infinie Théorème : Pour au
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Sémantique dénotationnelle Rappel
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Exemple Montrez que evalCom(x := 0;
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Sémantique du while En conséquenc
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Si evalCom(Cn+1, s) = s ′ , il y
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Exemple : A C B ◮ A et B sont adj
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Boucles : On peut autoriser qu’un
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Applications Les graphes peuvent ê
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Le graphe Chapter 11 des Simplerela
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◮ Le rapport entre les degrés mo
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Isomorphisme 80 Graph Theory Isomor
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◮ Un chemin est un graphe G = (V
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Parcours Définition : Un parcours
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Graphes connexes Définition : Un g
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Remarques à propos de la démonstr
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Théorème : Tout graphe connexe G
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◮ Un arbre binaire est un arbre a
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Définition : Le diamètre d’un g
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Coloriage de graphes Problème : l
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Associons une couleur à chaque pla
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k-coloriages Définition : Un graph
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◮ Cas inductif : Supposons que P(
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Tout graphe biparti peut donc être
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Définition : L’ensemble des gar
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Un énoncé formel Définition : So
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Problème des mariages stables Déf
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Terminaison Théorème : L’algori
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Correction partielle Théorème : T
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Equité L’algorithme est-il équi
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Réseaux de communications Hypothè
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Congestion Définition : ◮ La con
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Tableau à deux dimensions Réseau
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Quelques propriétés des notations
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Quelques propriétés 1. f (x) =
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Propriété : On a x 2 = O(x). Dém
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Chapitre 7 Récurrences 333
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Introduction Rappel : La notation a
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Dénombrement : exemple 3 Définiti
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Nombres de Catalan Les nombres : b0
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Techniques de résolution de récur
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Preuve d’une solution par inducti
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Un second théorème plus général
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Exemple d’application ◮ Soit la
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Chapitre 8 Fonctions génératrices
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Introduction Les fonctions généra
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Exemples : ◮ 〈0, 0, 0, 0, . . .
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Multiplication par une constante Pr
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Exemples ◮ Multiplication par une
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Dérivation et intégration Propri
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Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
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Sommes partielles Propriété : Si
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Formule de Newton généralisée So
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Synthèse : opérations entre fonct
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Résolution de récurrences Princip
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Récurrences linéaires (homogènes
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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Classes combinatoires Problème gé
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Application 2 : nombre d’arbres b
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Applications : choix avec répétit
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Applications : comptage difficile P
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◮ Fonction génératrice pour le
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