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◮ On déduit de l’arbre que T (n) ≤ ∞ n i=0 i 3 4 1 = n 1 − 3 = O(n) 4 ◮ Vérification par induction forte qu’il existe un c tel que pour tout n ≥ n0, on a T (n) ≤ cn ⇒ ok pour tout c > 4 T (n) = T (n/2) + T (n/4) + n ≤ cn/2 + cn/4 + n = (c3/4 + 1)n ≤ cn ◮ Puisqu’on a aussi T (n) = Ω(n), on en déduit T (n) = Θ(n). 370
Synthèse Trois approches empiriques pour trouver une solution analytique : ◮ “Deviner-et-vérifier” ◮ “Plug-and-Chug” ◮ Arbres de récursion Ces approches sont génériques mais ◮ il n’est pas toujours aisé de trouver le pattern ; ◮ il faut pouvoir résoudre la somme obtenue ; ◮ la solution doit être vérifiée par induction. On va voir des méthodes plus systématiques pour résoudre des récurrences particulières ◮ Récurrences linéaires d’ordre k ≥ 1 à coefficients constants (solution analytique exacte) ◮ Récurrences “diviser-pour-régner” (borne asymptotique uniquement) 371
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Page 367 and 368: Induction et notation asymptotique
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