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Modèle mathématique Etant donné le modèle : ◮ Nombre de comparaisons pour le partitionnement : N + 1 ◮ Probabilité que le pivot soit à la position k : 1/N ◮ Tailles des sous-tableaux dans ce cas-là : k − 1 et N − k ◮ Les sous-tableaux sont aussi triés aléatoirement Le nombre moyen de comparaisons utilisées par le quicksort est donné par la récurrence suivante : CN = N + 1 + N k=1 1 N (Ck−1 + CN−k) Essayons de dériver une formulation analytique de cette récurrence (voir chapitre 7). 300
Formulation analytique Par symétrie : En multipliant par N : CN = N + 1 + N k=1 CN = N + 1 + 2 N NCN = N(N + 1) + 2 1 N (Ck−1 + CN−k) N k=1 Ck−1 N k=1 En soustrayant la même formule pour N − 1 : En rassemblant les termes : Ck−1 NCN − (N − 1)CN−1 = 2N + 2CN−1 NCN = (N + 1)CN−1 + 2N 301
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