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Solution récursive : ◮ Cas de base : Déplacer une tour d’un seul disque est immédiat. ◮ Cas récursif : Pour déplacer une tour de n + 1 disques de la première vers la troisième tige en connaissant une solution pour le déplacement d’une tour de n disques : 1. Par récursion, déplacer n disques vers la deuxième tige ; 2. Déplacer le disque restant vers la troisième tige ; 3. Par récursion, déplacer les n disques de la deuxième tige vers la troisième tige. Notation : Soit Tn le nombre minimum d’étapes nécessaires au déplacement d’une tour de n disques d’une tige vers une autre. 338
Propriété (borne supérieure) : On a Tn ≤ 2Tn−1 + 1. Remarques : ◮ Pour déplacer une tour, il faut obligatoirement déplacer le disque du bas. ◮ Accéder au disque du bas nécessite de déplacer tous les autres disques vers une tige libre (au moins Tn−1 étapes). ◮ Ensuite, il faut remettre en place le reste de la tour (au moins Tn−1 étapes). On a donc la propriété suivante : Propriété (borne inférieure) : On a Tn ≥ 2Tn−1 + 1. D’où on déduit la Récurrence : T1 = 1 Tn = 2Tn−1 + 1 pour n > 1 339
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