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Exemple : somme des carrés Supposons qu’on veuille calculer sn = On sait que (cf. transp. 408) : Par la propriété précédente : n i 2 (voir chapitre 5). i=0 〈0, 1, 4, 9, 16, . . .〉 ←→ 〈s0, s1, s2, s3, . . .〉 ←→ sn est donc le coefficient de x n dans x·(1+x) (1−x) 4 . x · (1 + x) (1 − x) 3 x · (1 + x) (1 − x) 4 412
Extraction des coefficients Propriété (séries de Taylor) : Si F (x) est la fonction génératrice pour la séquence 〈f0, f1, f2, . . .〉, alors f0 = F (0), fn = F (n) (0) n! Démonstration : Directe en dérivant F (x) = f0 + f1x + f2x 2 + . . .. Exemple : pour n ≥ 1 ◮ F (x) = 1 1−x ⇒ F (n) (x) n! = n! n!(1−x) n+1 ⇒ F (n) (0) n! = n! n!(1−0) n+1 = 1 ◮ F (x) = e x ⇒ F ( n)(0) n! 1 = n! 413
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