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Unicité : ◮ Par l’absurde, supposons qu’il existe deux chemins différents entre les sommets u et v. ◮ En commencant par u, soit x le premier sommet à partir duquel les chemins divergent, et soit y le sommet suivant qu’ils partagent. x y v u ◮ Il existe deux chemins entre x et y sans arête commune. Ils définissent un cycle. ◮ C’est une contradiction car les arbres sont acycliques. 238
Théorème : Soit T = (V , E) un arbre. 1. Tout sous-graphe connexe de T est un arbre. 2. Ajouter une arête crée un cycle. 3. Retirer une arête rend le graphe non connexe. Démonstration : 1. Un cycle d’un sous-graphe est cycle du graphe complet. Donc, un sous-graphe d’un graphe acyclique est acyclique. S’il est connexe, c’est un arbre par définition. 2. Une arête supplémentaire u—v entre le chemin unique à extrémités u et v crée un cycle. 3. ◮ Supposons que l’on retire une arête u—v. ◮ Le chemin unique entre u et v devait être u—v. ◮ Il n’existe donc plus de chemin entre u et v. ◮ Par conséquent, le graphe est devenu non connexe. 239
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ En appliquant la règle (S-ADD)
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Déterminisme et normalisation Corr
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Montrons que eval((E1 + E2)) = n3
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Sémantique opérationnelle : assig
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Sémantique opérationnelle : condi
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Quicksort Partition(A, lo, hi) 1 i
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Formulation analytique Par symétri
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s worthwhile to use your computer t
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Trouver une solution analytique Si
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Série harmonique Complexité moyen
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Nombres harmoniques Une meilleure a
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Sommes doubles Généralement, il s
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Quelques propriétés des notations
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Quelques propriétés 1. f (x) =
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Propriété : On a x 2 = O(x). Dém
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Chapitre 7 Récurrences 333
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Dénombrement : exemple 3 Définiti
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Démonstration : Par induction sur
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Nombres de Catalan Les nombres : b0
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Calculer les valeurs d’une récur
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Techniques de résolution de récur
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Preuve d’une solution par inducti
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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4. Trouver une solution analytique
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Etape 5 : Déterminer les valeurs d
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Un second théorème plus général
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Exemple d’application ◮ Soit la
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Chapitre 8 Fonctions génératrices
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Introduction Les fonctions généra
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Multiplication par une constante Pr
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Exemples ◮ Multiplication par une
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Dérivation et intégration Propri
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Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
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Sommes partielles Propriété : Si
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Extraction des coefficients Propri
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Formule de Newton généralisée So
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Synthèse : opérations entre fonct
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Résolution de récurrences Princip
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Extraction des coefficients Calculo
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Récurrences linéaires (homogènes
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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Plan 1. Définitions et opérations
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Classes combinatoires Problème gé
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Application 2 : nombre d’arbres b
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Applications : comptage difficile P
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◮ Fonction génératrice pour le
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