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Démonstrations d’une relation asymptotique Propriété : On a 5x + 100 = O(x). Démonstration : On doit trouver des constantes x0 et c > 0 telles que |5x + 100| ≤ cx pour tout x ≥ x0. Soient c = 10 et x0 = 20. On a pour tout x ≥ 20. Propriété : On a x = O(x 2 ). |5x + 100| ≤ 5x + 5x = 10x Démonstration : On doit trouver des constantes x0 et c > 0 telles que |x| ≤ c · x 2 pour tout x ≥ x0. Soient c = 1 et x0 = 1. On a pour tout x ≥ 1. |x| ≤ 1 · x 2 330
Propriété : On a x 2 = O(x). Démonstration : Par l’absurde, supposons qu’il existe des constantes x0 et c > 0 telles que |x 2 | ≤ c · x pour tout x ≥ x0. On doit donc avoir x ≤ c pour tout x ≥ x0, ce qui est impossible à satisfaire pour x = max(x0, c + 1). 331
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