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Plan 1. Définitions et opérations élémentaires 2. Applications Résolution de récurrences Dénombrements Lectures conseillées : ◮ MCS, Chapitre 15 ◮ R. Sedgewick et P. Flagolet, Analysis of Algorithms, Addison-Wesley, 1995. http://aofa.cs.princeton.edu/. ◮ Cours “Analyse de structures de données et d’algorithmes” de C. Lavault http://lipn.univ-<strong>par</strong>is13.fr/~lavault/Polys/Polymath.pdf 398
Introduction Les fonctions génératrices forment un lien entre l’analyse mathématique des fonctions à valeurs réelles, et les problèmes portant sur les séquences. Motivation : Utiliser les fonctions génératrices pour résoudre des récurrences et des problèmes de dénombrement d’ensembles. Notation : Dans ce chapitre, on dénotera les séquences en utilisant les symboles 〈. . .〉. 399
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Partie 1 Techniques de preuves et a
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Prédicats Définition : Une propos
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Autres types de proposition ◮ Un
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Exemples de démonstrations Théor
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Schémas de preuves classiques Quel
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Implications Deux méthode pour pro
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Si et seulement si : exemple Théor
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Preuve par cas On va traiter les de
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Exemple Théorème : √ 2 ∈ R\Q.
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Écrire de bonnes démonstrations E
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Une preuve sans mot Théorème de P
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Découpage + glissement de 2 unité
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Principe du bon ordre Le principe d
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Schéma de preuve par le principe d
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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Un ensemble bien ordonné plus comp
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Un modèle pour les démonstrations
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Cas inductif : Supposons que P(n) s
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On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
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Une démonstration par induction er
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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Divisons la terrasse en 4 quadrants
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Induction forte Principe d’induct
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Exemple : hauteurs des piles score
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Plan 1. Machine d’état 2. Princi
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Machine d’état Un machine d’é
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Exécution et déterminisme Défini
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Démonstration d’un invariant Th
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Invariant inductif ◮ Définition
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Théorème : La somme des coordonn
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Le problème des cruches Soient deu
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Réponse à l’énigme Théorème
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Exemple Soit le programme suivant (
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A chaque point initial E0, il corre
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Correction de programmes Un program
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Exponentiation : correction partiel
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Interprétation La preuve précéde
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Exercices Montrez par induction for
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Variables dérivées et terminaison
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Démonstration : ◮ Soit la variab
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Invariant difficile à trouver Que
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Exemples d’exécutions Source : a
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Problème de l’arrêt Théorème
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Résumé ◮ Une machine d’état
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Chaîne de caractères Définition
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Induction structurelle Le schéma d
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Prédicat (invariant) Théorème :
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Modélisation par une machine d’
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Ambiguité d’une définition réc
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Arbres On peut définir récursivem
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Démonstration : Par induction stru
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Fonctions récursives sur les entie
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Définitions mal formées Des probl
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Expressions arithmétiques Définit
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Substitution La fonction subst(f ,
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Modèle d’évaluation avec substi
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Par la définition de subst, le mem
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Applications Les applications de ce
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Sémantique formelle Pourquoi défi
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Exemple : expressions arithmétique
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Expressions arithmétiques Idée g
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Exemple Evaluation de (3 + (2 + 1))
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◮ En appliquant la règle (S-ADD)
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Déterminisme Théorème : Si E →
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Déterminisme et normalisation Corr
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Montrons que eval((E1 + E2)) = n3
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Un langage de programmation simple
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Sémantique opérationnelle : état
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Sémantique opérationnelle : assig
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Sémantique opérationnelle : condi
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Synthèse de la sémantique opérat
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Illustration Si on note l’état d
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Déterminisme Lemme (déterminisme)
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Boucle infinie Théorème : Pour au
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Effets de bord Dans notre langage,
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Sémantique du while En conséquenc
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Si evalCom(Cn+1, s) = s ′ , il y
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Au delà de cours Syntaxe : ◮ Les
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Exemple : A C B ◮ A et B sont adj
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Extensions des graphes Multigraphes
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Boucles : On peut autoriser qu’un
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Applications Les graphes peuvent ê
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Le graphe Chapter 11 des Simplerela
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◮ Le rapport entre les degrés mo
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Isomorphisme 80 Graph Theory Isomor
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◮ Un chemin est un graphe G = (V
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Parcours Définition : Un parcours
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Théorème : Soit G un graphe dirig
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Théorème : Tout graphe G = (V , E
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Remarques à propos de la démonstr
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Théorème : Soit T = (V , E) un ar
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Théorème : Tout graphe connexe G
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◮ Un arbre binaire est un arbre a
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Définition : Le diamètre d’un g
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Théorème : Soit v un sommet arbit
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Coloriage de graphes Problème : l
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Associons une couleur à chaque pla
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Tout graphe biparti peut donc être
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⇐ ◮ Supposons que la condition
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Un énoncé formel Définition : So
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Problème des mariages stables Déf
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Terminaison Théorème : L’algori
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Correction partielle Théorème : T
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Equité L’algorithme est-il équi
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Réseaux de communications Hypothè
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Diamètre 326 “mcs” — 2012/6/
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Congestion Définition : ◮ La con
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Tableau à deux dimensions in in
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Tableau à deux dimensions Réseau
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“mcs” — 2012/6/4 — 15:49
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10.9. Beneˇs Network 337 Exemple p
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Quelques propriétés des notations
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Quelques propriétés 1. f (x) =
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Propriété : On a x 2 = O(x). Dém
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Chapitre 7 Récurrences 333
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Introduction Rappel : La notation a
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Dénombrement : exemple 3 Définiti
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Démonstration : Par induction sur
Page 347 and 348: Nombres de Catalan Les nombres : b0
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Page 351 and 352: Techniques de résolution de récur
Page 353 and 354: Preuve d’une solution par inducti
Page 355 and 356: Méthode “Plug-and-Chug” (force
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Page 359 and 360: Récurrence linéaire d’ordre 1 L
Page 361 and 362: Arbres de récursion Approche graph
Page 363 and 364: log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Page 367 and 368: Induction et notation asymptotique
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Page 371 and 372: Synthèse Trois approches empirique
Page 373 and 374: Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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Page 379 and 380: Etape 3 : Trouver une solution part
Page 381 and 382: Exemple Résolvons la récurrence d
Page 383 and 384: Etape 3 : Trouver une solution part
Page 385 and 386: Etape 5 : Déterminer les valeurs d
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Page 401 and 402: Exemples : ◮ 〈0, 0, 0, 0, . . .
Page 403 and 404: Multiplication par une constante Pr
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Page 407 and 408: Dérivation et intégration Propri
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Page 417 and 418: Synthèse : opérations entre fonct
Page 419 and 420: Résolution de récurrences Princip
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