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Correction partielle Théorème : L’algorithme produit un ensemble de mariages stable. Démonstration : Soit un homme m et une femme w qui ne sont pas mariés l’un à l’autre en sortie de l’algorithme. Montrons que m et w ne forment pas une couple fripon. Il y a deux cas possibles : ◮ w n’est pas sur la liste de m. Par l’invariant, w a un prétendant (qui est son mari) qu’elle préfère à m et donc ils ne forment pas un couple fripon. ◮ w est sur la liste de m. Puisque m n’est pas marié à w, il s’est présenté (seul) face à une autre femme qu’il préfère donc à w. Corrolaire : Quelles que soient les préférences, il est toujours possible de trouver un ensemble de mariages stable. 272
Equité L’algorithme est-il équitable ? Non ! Définitions : ◮ Etant donné des listes de préférences, une personne p1 est un partenaire possible de p2 s’il existe un ensemble stable de mariages où p1 et p2 sont mariés. ◮ Le partenaire optimal d’une personne est celui qu’elle préfère parmi ses partenaires possibles. Son pire partenaire est celui qu’elle aime le moins parmi tous les partenaire possibles. Théorème : L’algorithme du transparent 268 marie tous les hommes à leur partenaire optimale et toutes les femmes à leur pire partenaire. Démonstration : Le preuve fonctionne par contradiction. Laissée à titre d’exercice. 273
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Partie 1 Techniques de preuves et a
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Plan 1. Définitions 2. Techniques
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Propositions Définition : Une prop
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Prédicats Définition : Une propos
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Autres types de proposition ◮ Un
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Exemples de démonstrations Théor
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Schémas de preuves classiques Quel
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Implications Deux méthode pour pro
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Si et seulement si : exemple Théor
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Preuve par cas On va traiter les de
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Exemple Théorème : √ 2 ∈ R\Q.
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Écrire de bonnes démonstrations E
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Une preuve sans mot Théorème de P
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Découpage + glissement de 2 unité
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Principe du bon ordre Le principe d
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Schéma de preuve par le principe d
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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Un ensemble bien ordonné plus comp
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Un modèle pour les démonstrations
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Cas inductif : Supposons que P(n) s
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On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
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Une démonstration par induction er
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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Divisons la terrasse en 4 quadrants
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Induction forte Principe d’induct
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Exemple : hauteurs des piles score
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Plan 1. Machine d’état 2. Princi
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Machine d’état Un machine d’é
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Exécution et déterminisme Défini
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Démonstration d’un invariant Th
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Invariant inductif ◮ Définition
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Théorème : La somme des coordonn
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Le problème des cruches Soient deu
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Réponse à l’énigme Théorème
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Exemple Soit le programme suivant (
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A chaque point initial E0, il corre
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Correction de programmes Un program
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Exponentiation : correction partiel
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Interprétation La preuve précéde
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Exercices Montrez par induction for
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Variables dérivées et terminaison
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Démonstration : ◮ Soit la variab
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Invariant difficile à trouver Que
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Exemples d’exécutions Source : a
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Problème de l’arrêt Théorème
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Résumé ◮ Une machine d’état
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Plan 1. Définitions récursives 2.
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Chaîne de caractères Définition
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Preuve sur un ensemble défini réc
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Induction structurelle Le schéma d
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Un exemple (un peu) plus compliqué
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Prédicat (invariant) Théorème :
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Modélisation par une machine d’
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Ambiguité d’une définition réc
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Arbres On peut définir récursivem
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Démonstration : Par induction stru
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Fonctions récursives sur les entie
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Définitions mal formées Des probl
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Expressions arithmétiques Définit
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Substitution La fonction subst(f ,
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Modèle d’évaluation avec substi
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Par la définition de subst, le mem
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Applications Les applications de ce
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Plan 1. Introduction 2. Langage des
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Sémantique formelle Pourquoi défi
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Expressions arithmétiques sur N :
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Sémantique Essentiellement deux ty
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Exemple : expressions arithmétique
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Expressions arithmétiques Idée g
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Exemple Evaluation de (3 + (2 + 1))
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Déterminisme et normalisation Prop
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◮ En appliquant la règle (S-ADD)
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Déterminisme Théorème : Si E →
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Déterminisme et normalisation Corr
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Montrons que eval((E1 + E2)) = n3
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Plan 1. Introduction 2. Langage des
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Un langage de programmation simple
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Sémantique opérationnelle : état
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Sémantique opérationnelle : assig
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Sémantique opérationnelle : condi
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Synthèse de la sémantique opérat
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Illustration Si on note l’état d
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Déterminisme Lemme (déterminisme)
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Boucle infinie Théorème : Pour au
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Effets de bord Dans notre langage,
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Sémantique dénotationnelle Rappel
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Expressions et booléens Les foncti
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Exemple Montrez que evalCom(x := 0;
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Sémantique du while Définition :
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Sémantique du while En conséquenc
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Si evalCom(Cn+1, s) = s ′ , il y
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Au delà de cours Syntaxe : ◮ Les
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Plan 1. Définitions 2. Connexité
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Exemple : ◮ V = {A, B, C, D, E, F
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Exemple : A C B ◮ A et B sont adj
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Extensions des graphes Multigraphes
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Boucles : On peut autoriser qu’un
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Applications Les graphes peuvent ê
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Le graphe Chapter 11 des Simplerela
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Sommes doubles Généralement, il s
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Plan 1. Sommations Définitions Pre
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Quelques propriétés des notations
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Quelques propriétés 1. f (x) =
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Propriété : On a x 2 = O(x). Dém
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Chapitre 7 Récurrences 333
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Introduction Rappel : La notation a
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Dénombrement : exemple 3 Définiti
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Démonstration : Par induction sur
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Nombres de Catalan Les nombres : b0
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Calculer les valeurs d’une récur
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Techniques de résolution de récur
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Preuve d’une solution par inducti
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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4. Trouver une solution analytique
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Etape 5 : Déterminer les valeurs d
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Un premier théorème Théorème (M
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Un second théorème plus général
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Exemple d’application ◮ Soit la
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Chapitre 8 Fonctions génératrices
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Introduction Les fonctions généra
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Exemples : ◮ 〈0, 0, 0, 0, . . .
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Multiplication par une constante Pr
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Exemples ◮ Multiplication par une
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Dérivation et intégration Propri
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Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
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Sommes partielles Propriété : Si
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Extraction des coefficients Propri
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Formule de Newton généralisée So
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Synthèse : opérations entre fonct
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Résolution de récurrences Princip
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Extraction des coefficients Calculo
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Récurrences linéaires (homogènes
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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Plan 1. Définitions et opérations
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Classes combinatoires Problème gé
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Application 2 : nombre d’arbres b
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Démonstration : 1. Soit an et bn l
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Applications : choix avec répétit
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Applications : comptage difficile P
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◮ Fonction génératrice pour le
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