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Illustration Théorème : Pour tout n ∈ N, on a Démonstration : n i = i=1 n(n + 1) . 2 La démonstration fonctionne <strong>par</strong> induction. Soit P(n) le prédicat qui est vrai si et seulement si Cas de base : P(0) est vrai car 0 i = 0 = i=1 n i = i=1 0(0 + 1) . 2 n(n + 1) . 2 46
Cas inductif : Supposons que P(n) soit vrai, où n est un nombre naturel quelconque, et démontrons que cette hypothèse implique la validité de P(n + 1). On a n+1 n i = i + (n + 1). i=1 i=1 Comme P(n) (l’“hypothèse d’induction”) est vraie, cette expression est n(n + 1) égale à + (n + 1). On obtient donc 2 n+1 i = i=1 (n + 1)(n + 2) . 2 Dès lors, <strong>par</strong> induction, P(n) est vrai quel que soit le nombre naturel n, et le théorème est démontré. 47
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