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Corrolaire : Le robot n’atteindra jamais la position (1, 0). Démonstration : C’est une conséquence directe du théorème puisque 1 + 0 est impair. Remarque : L’invariant qu’on veut montrer est P((m, n)) =”(m, n) = (1, 0)” qui n’est pas inductif. On montre que c’est une conséquence de l’invariant inductif Q((m, n)) =”m + n est pair”. Exercice : Réécrivez la démonstration du problème du taquin en vous appuyant sur le théorème d’invariant. 86
Le problème des cruches Soient deux cruches non graduées et initialement vides, de contenances respectives 3 et 6 litres. Seules les trois actions suivantes sont possibles : ◮ remplissage d’une cruche via la fontaine, ◮ vidage d’une cruche dans la fontaine, ◮ transvasement d’une cruche vers l’autre jusqu’à ce que l’une soit remplie ou que l’autre soit vide. Question : Est-il possible d’obtenir exactement 4 litres dans la grande cruche ? 87
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Partie 1 Techniques de preuves et a
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Propositions Définition : Une prop
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Autres types de proposition ◮ Un
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Exemples de démonstrations Théor
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Schémas de preuves classiques Quel
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Implications Deux méthode pour pro
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Si et seulement si : exemple Théor
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Preuve par cas On va traiter les de
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Exemple Théorème : √ 2 ∈ R\Q.
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Écrire de bonnes démonstrations E
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Découpage + glissement de 2 unité
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Principe du bon ordre Le principe d
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Définitions mal formées Des probl
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Expressions arithmétiques Définit
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Substitution La fonction subst(f ,
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Modèle d’évaluation avec substi
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Par la définition de subst, le mem
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Applications Les applications de ce
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Sémantique formelle Pourquoi défi
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Sémantique Essentiellement deux ty
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Expressions arithmétiques Idée g
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Exemple Evaluation de (3 + (2 + 1))
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◮ En appliquant la règle (S-ADD)
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Déterminisme Théorème : Si E →
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Déterminisme et normalisation Corr
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Montrons que eval((E1 + E2)) = n3
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Un langage de programmation simple
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Sémantique opérationnelle : état
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Sémantique opérationnelle : assig
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Sémantique opérationnelle : condi
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Synthèse de la sémantique opérat
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Illustration Si on note l’état d
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Déterminisme Lemme (déterminisme)
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Boucle infinie Théorème : Pour au
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◮ Un chemin est un graphe G = (V
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Remarques à propos de la démonstr
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Théorème : Soit T = (V , E) un ar
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Théorème : Soit v un sommet arbit
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Coloriage de graphes Problème : l
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Tout graphe biparti peut donc être
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Un énoncé formel Définition : So
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Problème des mariages stables Déf
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Terminaison Théorème : L’algori
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Correction partielle Théorème : T
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Equité L’algorithme est-il équi
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Réseaux de communications Hypothè
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Congestion Définition : ◮ La con
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Tableau à deux dimensions Réseau
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Quelques propriétés des notations
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Quelques propriétés 1. f (x) =
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Propriété : On a x 2 = O(x). Dém
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Chapitre 7 Récurrences 333
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Introduction Rappel : La notation a
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Dénombrement : exemple 3 Définiti
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Démonstration : Par induction sur
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Nombres de Catalan Les nombres : b0
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Calculer les valeurs d’une récur
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Techniques de résolution de récur
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Preuve d’une solution par inducti
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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4. Trouver une solution analytique
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Un second théorème plus général
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Introduction Les fonctions généra
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Formule de Newton généralisée So
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Résolution de récurrences Princip
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Récurrences linéaires (homogènes
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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Classes combinatoires Problème gé
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Applications : comptage difficile P
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◮ Fonction génératrice pour le
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