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Exemple d’application ◮ Soit la récurrence suivante : T (n) = 7T (n/2) + O(n 2 ). (Méthode de Strassen pour la multiplication de matrice) ◮ T (n) satisfait aux conditions du théorème avec a = 7, b = 2, et d = 2. ◮ log b a = log 2 7 = 2.807... ⇒ d = 2 < log b a = 2.807... ◮ Par le troisième cas du théorème, on a : T (n) = O(n log b a ) = O(n 2.807... ). 388
Un second théorème plus général Forme générale d’une récurrence “Diviser pour régner” : ⎧ ⎪⎨ est défini pour 0 ≤ x ≤ x0 k T (x) = ⎪⎩ aiT (bix) + g(x) pour x > x0 avec ◮ a1, a2, . . . , ak > 0, i=1 ◮ b1, b2, . . . , bk ∈ [0, 1[, ◮ x0 suffisamment grand, ◮ |g ′ (x)| = O(x c ) pour un c ∈ N. 389
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◮ Fonction génératrice pour le
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