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Résumé Ce qu’on a vu : ◮ Notion de syntaxe et sémantique d’un langage ◮ Sémantique opérationnelle (modélisation par une machine d’état) ◮ Sémantique dénotationnelle (définition récursive sur la syntaxe) ◮ Preuves de déterminisme de la sémantique opérationnelle ◮ Preuves de certaines propriétés des langages sur base de la sémantique 204
Au delà de cours Syntaxe : ◮ Les langages qu’on a vu ici sont appelés des langages hors contexte. On peut définir des langages plus complexes, dépendant du contexte. ◮ La dérivation de la syntaxe abstraite à partir de la syntaxe concrète est non triviale pour la plupart des langages Sémantique : ◮ Il existe d’autres types de sémantique. Par exemple : ◮ Axiomatique : l’effet du programme est déterminé par la transformation de prédicats définis sur les variables (méthode d’invariant, triplet de Hoare, vue au chapitre 2). ◮ Sémantique naturelle (ou opérationnelle à grand pas) : entre la sémantique opérationnelle et la sémantique dénotationnelle. ◮ Autres questions importantes en sémantique : prise en compte des fonctions, analyse de type. . . (voir les cours INFO0016 (calculabilité) et INFO0085 (compilateurs)) 205
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Partie 1 Techniques de preuves et a
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Plan 1. Définitions 2. Techniques
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Propositions Définition : Une prop
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Prédicats Définition : Une propos
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Autres types de proposition ◮ Un
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Exemples de démonstrations Théor
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Schémas de preuves classiques Quel
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Implications Deux méthode pour pro
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Si et seulement si : exemple Théor
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Preuve par cas On va traiter les de
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Exemple Théorème : √ 2 ∈ R\Q.
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Écrire de bonnes démonstrations E
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Une preuve sans mot Théorème de P
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Découpage + glissement de 2 unité
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Principe du bon ordre Le principe d
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Schéma de preuve par le principe d
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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Un ensemble bien ordonné plus comp
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Un modèle pour les démonstrations
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Cas inductif : Supposons que P(n) s
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On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
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Une démonstration par induction er
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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Divisons la terrasse en 4 quadrants
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Induction forte Principe d’induct
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Exemple : hauteurs des piles score
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Plan 1. Machine d’état 2. Princi
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Machine d’état Un machine d’é
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Exécution et déterminisme Défini
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Démonstration d’un invariant Th
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Invariant inductif ◮ Définition
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Théorème : La somme des coordonn
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Le problème des cruches Soient deu
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Réponse à l’énigme Théorème
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Exemple Soit le programme suivant (
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A chaque point initial E0, il corre
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Correction de programmes Un program
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Exponentiation : correction partiel
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Interprétation La preuve précéde
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Exercices Montrez par induction for
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Variables dérivées et terminaison
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Démonstration : ◮ Soit la variab
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Invariant difficile à trouver Que
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Exemples d’exécutions Source : a
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Problème de l’arrêt Théorème
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Résumé ◮ Une machine d’état
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Chaîne de caractères Définition
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Induction structurelle Le schéma d
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Un exemple (un peu) plus compliqué
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Prédicat (invariant) Théorème :
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Modélisation par une machine d’
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Ambiguité d’une définition réc
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Arbres On peut définir récursivem
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Démonstration : Par induction stru
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Fonctions récursives sur les entie
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Définitions mal formées Des probl
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Expressions arithmétiques Définit
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Substitution La fonction subst(f ,
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Modèle d’évaluation avec substi
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Par la définition de subst, le mem
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Applications Les applications de ce
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Plan 1. Introduction 2. Langage des
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Sémantique formelle Pourquoi défi
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k-coloriages Définition : Un graph
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◮ Cas inductif : Supposons que P(
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Tout graphe biparti peut donc être
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Définition : L’ensemble des gar
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Un énoncé formel Définition : So
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Problème des mariages stables Déf
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Terminaison Théorème : L’algori
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Correction partielle Théorème : T
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Equité L’algorithme est-il équi
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Réseaux de communications Hypothè
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Diamètre 326 “mcs” — 2012/6/
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Congestion Définition : ◮ La con
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Tableau à deux dimensions in in
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Tableau à deux dimensions Réseau
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“mcs” — 2012/6/4 — 15:49
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Propriétés : commutateurs et diam
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10.9. Beneˇs Network 337 Exemple p
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Chaque nœud de G est incident à e
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Réseau butterfly 332 Cas de base :
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Exemple introductif : quicksort Par
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Quicksort Partition(A, lo, hi) 1 i
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Formulation analytique Par symétri
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s worthwhile to use your computer t
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Chapitre 6 Sommations et comporteme
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Sommations Définition : Soit une s
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Trouver une solution analytique Si
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Corollaire : Si |z| < 1, alors n n
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Un autre exemple Problème 6 : Dér
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Perturbation indirecte Dans ce cas,
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Série harmonique Complexité moyen
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Nombres harmoniques Une meilleure a
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Sommes doubles Généralement, il s
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Quelques propriétés des notations
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Quelques propriétés 1. f (x) =
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Propriété : On a x 2 = O(x). Dém
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Chapitre 7 Récurrences 333
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Introduction Rappel : La notation a
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Dénombrement : exemple 3 Définiti
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Démonstration : Par induction sur
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Nombres de Catalan Les nombres : b0
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Calculer les valeurs d’une récur
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Techniques de résolution de récur
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Preuve d’une solution par inducti
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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4. Trouver une solution analytique
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Etape 5 : Déterminer les valeurs d
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Un premier théorème Théorème (M
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Un second théorème plus général
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Exemple d’application ◮ Soit la
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Chapitre 8 Fonctions génératrices
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Introduction Les fonctions généra
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Exemples : ◮ 〈0, 0, 0, 0, . . .
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Multiplication par une constante Pr
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Exemples ◮ Multiplication par une
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Dérivation et intégration Propri
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Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
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Sommes partielles Propriété : Si
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Extraction des coefficients Propri
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Formule de Newton généralisée So
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Synthèse : opérations entre fonct
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Résolution de récurrences Princip
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Extraction des coefficients Calculo
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Récurrences linéaires (homogènes
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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Classes combinatoires Problème gé
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Application 2 : nombre d’arbres b
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Démonstration : 1. Soit an et bn l
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Applications : choix avec répétit
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Applications : comptage difficile P
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◮ Fonction génératrice pour le
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