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Plan 1. Introduction 2. Applications 3. Classification des récurrences 4. Résolution de récurrences 5. Résumé et com<strong>par</strong>aisons Lectures conseillées : ◮ MCS, chapitre 20. ◮ Rosen, 8.1, 8.2, 8.3 ◮ Introduction to algorithms, Cormen et al. Chapitre 4. 334
Introduction Rappel : La notation asymptotique vue dans le chapitre 6 permet d’approximer la complexité des algorithmes. But de ce chapitre : Étudier des méthodes permettant de résoudre des équations récurrentes. Motivation : ◮ La complexité des algorithmes récursifs est souvent calculable à <strong>par</strong>tir d’équations récurrentes. ◮ Les récurrences permettent de résoudre des problèmes de dénombrement 335
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Autres types de proposition ◮ Un
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Schémas de preuves classiques Quel
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Implications Deux méthode pour pro
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Preuve par cas On va traiter les de
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Écrire de bonnes démonstrations E
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Principe du bon ordre Le principe d
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Schéma de preuve par le principe d
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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Un ensemble bien ordonné plus comp
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Un modèle pour les démonstrations
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Cas inductif : Supposons que P(n) s
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On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
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Une démonstration par induction er
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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Divisons la terrasse en 4 quadrants
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Induction forte Principe d’induct
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Exemple : hauteurs des piles score
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Plan 1. Machine d’état 2. Princi
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Machine d’état Un machine d’é
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Exécution et déterminisme Défini
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Démonstration d’un invariant Th
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Invariant inductif ◮ Définition
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Théorème : La somme des coordonn
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Le problème des cruches Soient deu
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Réponse à l’énigme Théorème
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Exemple Soit le programme suivant (
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A chaque point initial E0, il corre
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Correction de programmes Un program
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Exponentiation : correction partiel
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Interprétation La preuve précéde
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Exercices Montrez par induction for
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Variables dérivées et terminaison
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Démonstration : ◮ Soit la variab
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Invariant difficile à trouver Que
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Exemples d’exécutions Source : a
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Résumé ◮ Une machine d’état
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Prédicat (invariant) Théorème :
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Ambiguité d’une définition réc
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Arbres On peut définir récursivem
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Démonstration : Par induction stru
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Fonctions récursives sur les entie
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Définitions mal formées Des probl
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Substitution La fonction subst(f ,
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Modèle d’évaluation avec substi
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Par la définition de subst, le mem
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Applications Les applications de ce
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Sémantique formelle Pourquoi défi
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Expressions arithmétiques Idée g
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◮ En appliquant la règle (S-ADD)
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Déterminisme et normalisation Corr
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Sémantique opérationnelle : assig
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Sémantique opérationnelle : condi
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Illustration Si on note l’état d
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Déterminisme Lemme (déterminisme)
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Le graphe Chapter 11 des Simplerela
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◮ Le rapport entre les degrés mo
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Isomorphisme 80 Graph Theory Isomor
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◮ Un chemin est un graphe G = (V
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Théorème : Soit T = (V , E) un ar
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Equité L’algorithme est-il équi
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Réseaux de communications Hypothè
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Diamètre 326 “mcs” — 2012/6/
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Congestion Définition : ◮ La con
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Page 367 and 368: Induction et notation asymptotique
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Page 371 and 372: Synthèse Trois approches empirique
Page 373 and 374: Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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Page 377 and 378: Résolution des récurrences linéa
Page 379 and 380: Etape 3 : Trouver une solution part
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Etape 5 : Déterminer les valeurs d
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Un premier théorème Théorème (M
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Un second théorème plus général
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Exemple d’application ◮ Soit la
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Chapitre 8 Fonctions génératrices
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Introduction Les fonctions généra
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Exemples : ◮ 〈0, 0, 0, 0, . . .
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Multiplication par une constante Pr
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Exemples ◮ Multiplication par une
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Dérivation et intégration Propri
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Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
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Sommes partielles Propriété : Si
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Extraction des coefficients Propri
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Formule de Newton généralisée So
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Synthèse : opérations entre fonct
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Résolution de récurrences Princip
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Extraction des coefficients Calculo
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Récurrences linéaires (homogènes
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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Plan 1. Définitions et opérations
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Classes combinatoires Problème gé
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Application 2 : nombre d’arbres b
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Démonstration : 1. Soit an et bn l
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Applications : choix avec répétit
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Applications : comptage difficile P
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◮ Fonction génératrice pour le
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