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Dénombrements Beaucoup de problèmes de dénombrements peuvent être modélisés par des récurrences. Les fonctions génératrices permettent de résoudre des récurrences et donc indirectement des problèmes de dénombrement. Dans la suite du cours, on va voir comment utiliser des fonctions génératrices pour modéliser plus directement des problèmes de dénombrements. 428
Classes combinatoires Problème général de dénombrement : Soit un ensemble A d’objets (au sens très large) et une fonction |a| qui mesure la “taille” d’un élément de A. On cherche à calculer an, le nombre d’éléments de A de taille n. Solution : ◮ On définit la séquence 〈a0, a1, a2, . . .〉 et la fonction génératrice correspondante A(x) qui est telle que : A(x) = ∞ anx n = x |a| . n=0 a∈A ◮ On dérive une solution analytique pour A(x). Deux approches : ◮ On exploite une définition récursive des éléments de A ◮ On construit A à partir d’ensembles dont les fonctions génératrices sont connues ◮ On déduit an de A(x) (par ex. en utilisant Taylor) 429
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Propositions Définition : Une prop
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Autres types de proposition ◮ Un
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Schémas de preuves classiques Quel
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Implications Deux méthode pour pro
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Si et seulement si : exemple Théor
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Preuve par cas On va traiter les de
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Exemple Théorème : √ 2 ∈ R\Q.
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Écrire de bonnes démonstrations E
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Une preuve sans mot Théorème de P
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Découpage + glissement de 2 unité
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Principe du bon ordre Le principe d
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Schéma de preuve par le principe d
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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Un ensemble bien ordonné plus comp
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Un modèle pour les démonstrations
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Cas inductif : Supposons que P(n) s
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On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
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Une démonstration par induction er
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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Divisons la terrasse en 4 quadrants
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Induction forte Principe d’induct
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Exemple : hauteurs des piles score
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Plan 1. Machine d’état 2. Princi
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Machine d’état Un machine d’é
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Exécution et déterminisme Défini
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Démonstration d’un invariant Th
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Invariant inductif ◮ Définition
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Théorème : La somme des coordonn
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Le problème des cruches Soient deu
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Réponse à l’énigme Théorème
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Exemple Soit le programme suivant (
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A chaque point initial E0, il corre
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Interprétation La preuve précéde
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Prédicat (invariant) Théorème :
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Modélisation par une machine d’
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Ambiguité d’une définition réc
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Arbres On peut définir récursivem
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Démonstration : Par induction stru
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Fonctions récursives sur les entie
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Définitions mal formées Des probl
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Substitution La fonction subst(f ,
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Expressions arithmétiques Idée g
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◮ En appliquant la règle (S-ADD)
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Déterminisme Théorème : Si E →
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Déterminisme et normalisation Corr
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Sémantique opérationnelle : état
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Sémantique opérationnelle : assig
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Sémantique opérationnelle : condi
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Synthèse de la sémantique opérat
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Illustration Si on note l’état d
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Déterminisme Lemme (déterminisme)
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Boucle infinie Théorème : Pour au
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Sémantique du while En conséquenc
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Boucles : On peut autoriser qu’un
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Applications Les graphes peuvent ê
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Le graphe Chapter 11 des Simplerela
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◮ Le rapport entre les degrés mo
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Isomorphisme 80 Graph Theory Isomor
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◮ Un chemin est un graphe G = (V
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Théorème : Tout graphe G = (V , E
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Remarques à propos de la démonstr
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Théorème : Soit T = (V , E) un ar
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◮ Un arbre binaire est un arbre a
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Théorème : Soit v un sommet arbit
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Coloriage de graphes Problème : l
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◮ Cas inductif : Supposons que P(
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Tout graphe biparti peut donc être
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Définition : L’ensemble des gar
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⇐ ◮ Supposons que la condition
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Un énoncé formel Définition : So
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Problème des mariages stables Déf
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Terminaison Théorème : L’algori
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Correction partielle Théorème : T
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Equité L’algorithme est-il équi
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Réseaux de communications Hypothè
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Diamètre 326 “mcs” — 2012/6/
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Congestion Définition : ◮ La con
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Tableau à deux dimensions in in
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Tableau à deux dimensions Réseau
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“mcs” — 2012/6/4 — 15:49
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Trouver une solution analytique Si
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Sommes doubles Généralement, il s
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Quelques propriétés des notations
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Quelques propriétés 1. f (x) =
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Propriété : On a x 2 = O(x). Dém
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Chapitre 7 Récurrences 333
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Introduction Rappel : La notation a
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Dénombrement : exemple 3 Définiti
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Démonstration : Par induction sur
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Nombres de Catalan Les nombres : b0
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Calculer les valeurs d’une récur
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Techniques de résolution de récur
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Preuve d’une solution par inducti
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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4. Trouver une solution analytique
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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