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En substituant : Puisque on obtient x 1 = √ 1 − x − x 2 5 1 1 − α1x − 1 . 1 − α2x 1 1 − αx = 1 + αx + α2 x 2 + . . . , F (x) = 1 √ (1 + α1x + α 5 2 1x 2 + . . .) − (1 + α2x + α 2 2x 2 + . . .) Par identification : [x n ]F (x) = fn = αn 1 − αn 2 √ = 5 1 √ 5 1 + √ n 5 1 − − 2 √ n 5 . 2 422
Récurrences linéaires (homogènes, à coefficients constants) Propriété : Soit une récurrence linéaire homogène de la forme générale un = a1un−1 + . . . + akun−k (pour n ≥ k) et soit G(x) = ∞ n=0 unx n la fonction génératrice associée à la séquence 〈u0, u1, . . . , un, . . .〉. On a où NB : G(x) = U(x) V (x) , U(x) = Pk−1(x) − a1xPk−2(x) − . . . − ak−1x k−1 P0(x) V (x) = 1 − a1x − a2x − . . . − akx k Pi(x) = u0 + u1x + . . . + uix i (i = 0, . . . , k − 1). ◮ V ( 1 x ) = 0 est l’équation caractéristique (voir transp. 377). ◮ V (x) est indépendant des conditions initiales (pas U(x)). 423
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