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Classification des récurrences Forme générale : un = f ({u0, u1, . . . , un−1}, n) Une récurrence peut être : ◮ linéaire si f est une combinaison linéaire à coefficients constants ou variables. ◮ un = 3un−1 + 4un−2, un = n ∗ un−2 + 1 ◮ polynomiale si f est un polynôme. ◮ bn = n−1 k=0 bkbn−1−k ◮ d’ordre k si f dépend de un−1, . . . , un−k. ◮ complète si f dépend de un−1, . . . , u0. ◮ de type “diviser pour régner” si f dépend de u n/a, avec a ∈ N constant. ◮ un = 2u n/2 ◮ homogène si f ne dépend que des ui. ◮ un = 2u n/2 + u n/4 ◮ non homogène si elle est de la forme un = f ({up|p < n}) + g(n). ◮ un = 2un−1 + n 348
Calculer les valeurs d’une récurrence On peut utiliser l’ordinateur pour calculer les valeurs d’une récurrence Quicksort versus mergesort : C N x 104 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Mergesort Quicksort 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Avantages : ça s’applique à toutes les récurrences Limitations : temps de calcul peut être élevé, com<strong>par</strong>aisons hasardeuses. N 349
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Autres types de proposition ◮ Un
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Schémas de preuves classiques Quel
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Implications Deux méthode pour pro
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Si et seulement si : exemple Théor
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Preuve par cas On va traiter les de
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Écrire de bonnes démonstrations E
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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Une démonstration par induction er
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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Divisons la terrasse en 4 quadrants
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Exemple : hauteurs des piles score
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Invariant inductif ◮ Définition
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Réponse à l’énigme Théorème
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Prédicat (invariant) Théorème :
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Déterminisme Théorème : Si E →
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Déterminisme et normalisation Corr
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Boucles : On peut autoriser qu’un
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Applications Les graphes peuvent ê
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◮ Le rapport entre les degrés mo
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Isomorphisme 80 Graph Theory Isomor
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◮ Un chemin est un graphe G = (V
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Dérivation et intégration Propri
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Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
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Sommes partielles Propriété : Si
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Extraction des coefficients Propri
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Formule de Newton généralisée So
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Synthèse : opérations entre fonct
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Résolution de récurrences Princip
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Récurrences linéaires (homogènes
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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Plan 1. Définitions et opérations
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Application 2 : nombre d’arbres b
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Applications : comptage difficile P
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◮ Fonction génératrice pour le
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