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Notations Introduisons quelques notations. Définition : On a E → ∗ E ′ si et seulement si soit E = E ′ , soit il existe une séquence finie : E → E1 → E2 → . . . Ek → E ′ . (⇔ E ′ est atteignable à <strong>par</strong>tir de E). Définition : La relation → k pour tout k ∈ N est définie récursivement sur N : ◮ Cas de base : E → 0 E pour tout E ∈ Exp ◮ Cas récursif : E → k+1 E ′ s’il existe E ′′ tel que : ◮ E → k E ′′ et ◮ E ′′ → E ′ . Définition : Soit une expression E ∈ Exp. n est la réponse finale de E si E → ∗ n. 162
Déterminisme et normalisation Propriété de la sémantique dénotationnelle : ◮ Toute expression possède une réponse finale (normalisation). ◮ Cette réponse est unique et ne peut être évaluée que d’une et une seule manière (déterminisme). Formellement : pour tout E ∈ Exp : ◮ Si E → E1 et E → E2, alors E1 = E2. (déterminisme) ◮ Si E → ∗ n et E → ∗ n ′ , alors n = n ′ . (déterminisme) ◮ Il existe n tel que E → ∗ n. (normalisation). 163
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Autres types de proposition ◮ Un
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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Invariant difficile à trouver Que
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Equité L’algorithme est-il équi
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Réseaux de communications Hypothè
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Un second théorème plus général
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Résolution de récurrences Princip
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Extraction des coefficients Calculo
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Récurrences linéaires (homogènes
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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◮ Fonction génératrice pour le
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