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Un théorème de divisibilité Définition : Un nombre entier a divise un nombre entier b si b est un multiple de a. Lorsque a divise b, on écrit a | b. Exemple : On a 3 | (5 3 − 5) car 5 3 − 5 = 120 est un multiple de 3. On souhaite démontrer <strong>par</strong> induction que, quel que soit n ∈ N, on a 3 | (n 3 − n). Soit P(n) le prédicat “3 | (n 3 − n)”. Le cas de base P(0) est immédiat. Pour démontrer le cas inductif, il faut supposer que 3 | (n 3 − n) et en déduire que 3 | ((n + 1) 3 − (n + 1)). 48
On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 + 3n + 2n = (n 3 − n) + (3n 2 + 3n). Comme 3 divise (n 3 − n) <strong>par</strong> hypothèse d’induction, et que 3n 2 + 3n est un multiple de 3, la somme (n 3 − n) + (3n 2 + 3n) est un multiple de 3. Réorganisons ce raisonnement dans une démonstration claire. Théorème : (∀n ∈ N) 3 | (n 3 − n). 49
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