1 transparent par page - Montefiore

More documents

Recommendations

Info

Piège de l’induction Si une solution exacte ne peut pas être trouvée, on peut vouloir trouver une borne supérieure sur la solution. Essayons de montrer que Tn ≤ 2 n pour la récurrence Tn = 2Tn−1 + 1. Tentative de démonstration : Par induction sur n. P(n) = ”Tn ≤ 2 n ”. Cas de base : P(1) est vrai car T1 = 1 ≤ 2 1 . Cas inductif : Supposons Tn−1 ≤ 2 n−1 et montrons que Tn ≤ 2 n (n ≥ 2) : Tn = 2Tn−1 + 1 ≤ 2(2 n−1 ) + 1 2 n La démonstration ne fonctionne pas si on n’utilise pas la borne exacte plus forte (voir aussi le transparent 367). 354
Méthode “Plug-and-Chug” (force brute) (aussi appelée téléscopage ou méthode des facteurs sommants) 1. “Plug” (appliquer l’équation récurrente) et “Chug” (simplifier) Tn = 1 + 2Tn−1 = 1 + 2(1 + 2Tn−2) = 1 + 2 + 4Tn−2 = 1 + 2 + 4(1 + 2Tn−3) = 1 + 2 + 4 + 8Tn−3 = . . . Remarque : Il faut simplifier avec modération. 355
Page 1 and 2:
Introduction à la théorie de l’
Page 3 and 4:
Objectifs et plan du cours Objectif
Page 5 and 6:
Partie 1 Techniques de preuves et a
Page 7 and 8:
Plan 1. Définitions 2. Techniques
Page 9 and 10:
Propositions Définition : Une prop
Page 11 and 12:
Prédicats Définition : Une propos
Page 13 and 14:
Autres types de proposition ◮ Un
Page 15 and 16:
Exemples de démonstrations Théor
Page 17 and 18:
Schémas de preuves classiques Quel
Page 19 and 20:
Implications Deux méthode pour pro
Page 21 and 22:
Si et seulement si : exemple Théor
Page 23 and 24:
Preuve par cas On va traiter les de
Page 25 and 26:
Exemple Théorème : √ 2 ∈ R\Q.
Page 27 and 28:
Écrire de bonnes démonstrations E
Page 29 and 30:
Une preuve sans mot Théorème de P
Page 31 and 32:
Découpage + glissement de 2 unité
Page 33 and 34:
Principe du bon ordre Le principe d
Page 35 and 36:
Schéma de preuve par le principe d
Page 37 and 38:
On en déduit que : c−1 i = i=1 E
Page 39 and 40:
◮ Puisque a et b sont plus petits
Page 41 and 42:
Un ensemble bien ordonné plus comp
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Un modèle pour les démonstrations
Page 47 and 48:
Cas inductif : Supposons que P(n) s
Page 49 and 50:
On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
Page 51 and 52:
Une démonstration par induction er
Page 53 and 54:
Dallage On souhaite créer une terr
Page 55 and 56:
Problème : Choisir P(n) = “il ex
Page 57 and 58:
Divisons la terrasse en 4 quadrants
Page 59 and 60:
Induction forte Principe d’induct
Page 61 and 62:
Exemple : hauteurs des piles score
Page 63 and 64:
- On obtient : s. total = score du
Page 65 and 66:
Remarques : ◮ Tout théorème qui
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
◮ Deux types de mouvements : mouv
Page 71 and 72:
◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
Page 73 and 74:
◮ Théorème : Aucune séquence d
Page 75 and 76:
Plan 1. Machine d’état 2. Princi
Page 77 and 78:
Machine d’état Un machine d’é
Page 79 and 80:
Exécution et déterminisme Défini
Page 81 and 82:
Démonstration d’un invariant Th
Page 83 and 84:
Invariant inductif ◮ Définition
Page 85 and 86:
Théorème : La somme des coordonn
Page 87 and 88:
Le problème des cruches Soient deu
Page 89 and 90:
Réponse à l’énigme Théorème
Page 91 and 92:
Exemple Soit le programme suivant (
Page 93 and 94:
A chaque point initial E0, il corre
Page 95 and 96:
Correction de programmes Un program
Page 97 and 98:
Exponentiation : correction partiel
Page 99 and 100:
Interprétation La preuve précéde
Page 101 and 102:
Exercices Montrez par induction for
Page 103 and 104:
Variables dérivées et terminaison
Page 105 and 106:
Démonstration : ◮ Soit la variab
Page 107 and 108:
Invariant difficile à trouver Que
Page 109 and 110:
Exemples d’exécutions Source : a
Page 111 and 112:
Problème de l’arrêt Théorème
Page 113 and 114:
Résumé ◮ Une machine d’état
Page 115 and 116:
Plan 1. Définitions récursives 2.
Page 117 and 118:
Chaîne de caractères Définition
Page 119 and 120:
Preuve sur un ensemble défini réc
Page 121 and 122:
Induction structurelle Le schéma d
Page 123 and 124:
Un exemple (un peu) plus compliqué
Page 125 and 126:
Prédicat (invariant) Théorème :
Page 127 and 128:
Modélisation par une machine d’
Page 129 and 130:
Ambiguité d’une définition réc
Page 131 and 132:
Arbres On peut définir récursivem
Page 133 and 134:
Démonstration : Par induction stru
Page 135 and 136:
Fonctions récursives sur les entie
Page 137 and 138:
Définitions mal formées Des probl
Page 139 and 140:
Expressions arithmétiques Définit
Page 141 and 142:
Substitution La fonction subst(f ,
Page 143 and 144:
Modèle d’évaluation avec substi
Page 145 and 146:
Par la définition de subst, le mem
Page 147 and 148:
Applications Les applications de ce
Page 149 and 150:
Plan 1. Introduction 2. Langage des
Page 151 and 152:
Sémantique formelle Pourquoi défi
Page 153 and 154:
Expressions arithmétiques sur N :
Page 155 and 156:
Sémantique Essentiellement deux ty
Page 157 and 158:
Exemple : expressions arithmétique
Page 159 and 160:
Expressions arithmétiques Idée g
Page 161 and 162:
Exemple Evaluation de (3 + (2 + 1))
Page 163 and 164:
Déterminisme et normalisation Prop
Page 165 and 166:
◮ En appliquant la règle (S-ADD)
Page 167 and 168:
Déterminisme Théorème : Si E →
Page 169 and 170:
Déterminisme et normalisation Corr
Page 171 and 172:
Montrons que eval((E1 + E2)) = n3
Page 173 and 174:
Plan 1. Introduction 2. Langage des
Page 175 and 176:
Un langage de programmation simple
Page 177 and 178:
Sémantique opérationnelle : état
Page 179 and 180:
Sémantique opérationnelle : assig
Page 181 and 182:
Sémantique opérationnelle : condi
Page 183 and 184:
Synthèse de la sémantique opérat
Page 185 and 186:
Illustration Si on note l’état d
Page 187 and 188:
Déterminisme Lemme (déterminisme)
Page 189 and 190:
Boucle infinie Théorème : Pour au
Page 191 and 192:
Effets de bord Dans notre langage,
Page 193 and 194:
Sémantique dénotationnelle Rappel
Page 195 and 196:
Expressions et booléens Les foncti
Page 197 and 198:
Exemple Montrez que evalCom(x := 0;
Page 199 and 200:
Sémantique du while Définition :
Page 201 and 202:
Sémantique du while En conséquenc
Page 203 and 204:
Si evalCom(Cn+1, s) = s ′ , il y
Page 205 and 206:
Au delà de cours Syntaxe : ◮ Les
Page 207 and 208:
Plan 1. Définitions 2. Connexité
Page 209 and 210:
Exemple : ◮ V = {A, B, C, D, E, F
Page 211 and 212:
Exemple : A C B ◮ A et B sont adj
Page 213 and 214:
Extensions des graphes Multigraphes
Page 215 and 216:
Boucles : On peut autoriser qu’un
Page 217 and 218:
Applications Les graphes peuvent ê
Page 219 and 220:
Le graphe Chapter 11 des Simplerela
Page 221 and 222:
◮ Le rapport entre les degrés mo
Page 223 and 224:
Isomorphisme 80 Graph Theory Isomor
Page 225 and 226:
◮ Un chemin est un graphe G = (V
Page 227 and 228:
Parcours Définition : Un parcours
Page 229 and 230:
Théorème : Soit G un graphe dirig
Page 231 and 232:
Graphes connexes Définition : Un g
Page 233 and 234:
Théorème : Tout graphe G = (V , E
Page 235 and 236:
Remarques à propos de la démonstr
Page 237 and 238:
Théorème : Soit T = (V , E) un ar
Page 239 and 240:
Page 241 and 242:
Page 243 and 244:
Théorème : Tout graphe connexe G
Page 245 and 246:
◮ Un arbre binaire est un arbre a
Page 247 and 248:
Définition : Le diamètre d’un g
Page 249 and 250:
Théorème : Soit v un sommet arbit
Page 251 and 252:
Coloriage de graphes Problème : l
Page 253 and 254:
Associons une couleur à chaque pla
Page 255 and 256:
k-coloriages Définition : Un graph
Page 257 and 258:
◮ Cas inductif : Supposons que P(
Page 259 and 260:
Tout graphe biparti peut donc être
Page 261 and 262:
Définition : L’ensemble des gar
Page 263 and 264:
⇐ ◮ Supposons que la condition
Page 265 and 266:
Un énoncé formel Définition : So
Page 267 and 268:
Problème des mariages stables Déf
Page 269 and 270:
Terminaison Théorème : L’algori
Page 271 and 272:
Correction partielle Théorème : T
Page 273 and 274:
Equité L’algorithme est-il équi
Page 275 and 276:
Réseaux de communications Hypothè
Page 277 and 278:
Diamètre 326 “mcs” — 2012/6/
Page 279 and 280:
Congestion Définition : ◮ La con
Page 281 and 282:
Tableau à deux dimensions in in
Page 283 and 284:
Tableau à deux dimensions Réseau
Page 285 and 286:
“mcs” — 2012/6/4 — 15:49
Page 287 and 288:
Propriétés : commutateurs et diam
Page 289 and 290:
10.9. Beneˇs Network 337 Exemple p
Page 291 and 292:
Chaque nœud de G est incident à e
Page 293 and 294:
Réseau butterfly 332 Cas de base :
Page 295 and 296:
Partie 3 Outils pour l’analyse d
Page 297 and 298:
Exemple introductif : quicksort Par
Page 299 and 300:
Quicksort Partition(A, lo, hi) 1 i
Page 301 and 302:
Formulation analytique Par symétri
Page 303 and 304: s worthwhile to use your computer t
Page 305 and 306: Chapitre 6 Sommations et comporteme
Page 307 and 308: Sommations Définition : Soit une s
Page 309 and 310: Preuve d’une solution analytique
Page 311 and 312: Trouver une solution analytique Si
Page 313 and 314: Corollaire : Si |z| < 1, alors n n
Page 315 and 316: Un autre exemple Problème 6 : Dér
Page 317 and 318: Perturbation indirecte Dans ce cas,
Page 319 and 320: Série harmonique Complexité moyen
Page 321 and 322: Nombres harmoniques Une meilleure a
Page 323 and 324: Sommes doubles Généralement, il s
Page 325 and 326: Plan 1. Sommations Définitions Pre
Page 327 and 328: Quelques propriétés des notations
Page 329 and 330: Quelques propriétés 1. f (x) =
Page 331 and 332: Propriété : On a x 2 = O(x). Dém
Page 333 and 334: Chapitre 7 Récurrences 333
Page 335 and 336: Introduction Rappel : La notation a
Page 337 and 338: Complexité d’algorithmes récurs
Page 339 and 340: Propriété (borne supérieure) : O
Page 341 and 342: Solution : Soit Fn le nombre de pro
Page 343 and 344: Dénombrement : exemple 3 Définiti
Page 345 and 346: Démonstration : Par induction sur
Page 347 and 348: Nombres de Catalan Les nombres : b0
Page 349 and 350: Calculer les valeurs d’une récur
Page 351 and 352: Techniques de résolution de récur
Page 353: Preuve d’une solution par inducti
Page 357 and 358: 4. Trouver une solution analytique
Page 359 and 360: Récurrence linéaire d’ordre 1 L
Page 361 and 362: Arbres de récursion Approche graph
Page 363 and 364: log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
Page 365 and 366: Preuve d’une borne supérieure Th
Page 367 and 368: Induction et notation asymptotique
Page 369 and 370: log 2 n apple h apple log 4 n log 3
Page 371 and 372: Synthèse Trois approches empirique
Page 373 and 374: Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
Page 375 and 376: 1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
Page 377 and 378: Résolution des récurrences linéa
Page 379 and 380: Etape 3 : Trouver une solution part
Page 381 and 382: Exemple Résolvons la récurrence d
Page 383 and 384: Etape 3 : Trouver une solution part
Page 385 and 386: Etape 5 : Déterminer les valeurs d
Page 387 and 388: Un premier théorème Théorème (M
Page 389 and 390: Un second théorème plus général
Page 391 and 392: Exemple d’application ◮ Soit la
Page 393 and 394: Changement de variables Un changeme
Page 395 and 396: Comparaisons de récurrences : lin
Page 397 and 398: Chapitre 8 Fonctions génératrices
Page 399 and 400: Introduction Les fonctions généra
Page 401 and 402: Exemples : ◮ 〈0, 0, 0, 0, . . .
Page 403 and 404: Multiplication par une constante Pr
Page 405 and 406:
Exemples ◮ Multiplication par une
Page 407 and 408:
Dérivation et intégration Propri
Page 409 and 410:
Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
Page 411 and 412:
Sommes partielles Propriété : Si
Page 413 and 414:
Extraction des coefficients Propri
Page 415 and 416:
Formule de Newton généralisée So
Page 417 and 418:
Synthèse : opérations entre fonct
Page 419 and 420:
Résolution de récurrences Princip
Page 421 and 422:
Extraction des coefficients Calculo
Page 423 and 424:
Récurrences linéaires (homogènes
Page 425 and 426:
Nombres de Catalan Théorème : Soi
Page 427 and 428:
Plan 1. Définitions et opérations
Page 429 and 430:
Classes combinatoires Problème gé
Page 431 and 432:
Application 2 : nombre d’arbres b
Page 433 and 434:
Démonstration : 1. Soit an et bn l
Page 435 and 436:
Applications : choix avec répétit
Page 437 and 438:
Applications : comptage difficile P
Page 439 and 440:
◮ Fonction génératrice pour le
show all

1 transparent par page - Montefiore

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?