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Définition : Une démonstration est une vérification d’une proposition <strong>par</strong> une séquence de déductions logiques à <strong>par</strong>tir d’un ensemble d’axiomes. 8
Propositions Définition : Une proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux. Exemples : ◮ 2 + 3 = 5. Proposition vraie. ◮ (∀n ∈ N) n 2 + n + 41 est un nombre premier. Proposition fausse : pour n = 40, on a n 2 + n + 41 = 40 2 + 40 + 41 = 41 2 . ◮ (Conjecture d’Euler, 1769) a 4 + b 4 + c 4 = d 4 n’a pas de solution quand a, b, c, d ∈ N + . Proposition fausse (Elkies, 1988). Contre-exemple : a = 95800, b = 217519, c = 414560, d = 422481. ◮ (∃a, b, c, d ∈ N + ) a 4 + b 4 + c 4 = d 4 . Proposition vraie. 9
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Induction forte Principe d’induct
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Exemple : hauteurs des piles score
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Invariant inductif ◮ Définition
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A chaque point initial E0, il corre
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Complexité d’algorithmes récurs
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Dénombrement : exemple 3 Définiti
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Nombres de Catalan Les nombres : b0
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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4. Trouver une solution analytique
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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Induction et notation asymptotique
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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