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Com<strong>par</strong>aisons de récurrences : nombre de sous-problèmes Récurrences linéaires : Tn = 2Tn−1 + 1 ⇒ Tn = Θ(2 n ) Tn = 3Tn−1 + 1 ⇒ Tn = Θ(3 n ) Augmentation exponentielle des temps de calcul quand on passe de 2 à 3 sous-problèmes. Récurrence “diviser-pour-régner” : T1 = 0 Tn = aT n/2 + n − 1 Par le master théorème, on a : ⎧ ⎨ Θ(n) pour a < 2 Tn = Θ(n log2 n) ⎩ Θ(n pour a = 2 log2 a ) pour a > 2. La solution est complètement différente entre a = 1.99 et a = 2.01. 396
Chapitre 8 Fonctions génératrices 397
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Propositions Définition : Une prop
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Autres types de proposition ◮ Un
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Exemples de démonstrations Théor
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Schémas de preuves classiques Quel
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Implications Deux méthode pour pro
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Si et seulement si : exemple Théor
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Preuve par cas On va traiter les de
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Exemple Théorème : √ 2 ∈ R\Q.
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Écrire de bonnes démonstrations E
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Découpage + glissement de 2 unité
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Principe du bon ordre Le principe d
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Schéma de preuve par le principe d
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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Un ensemble bien ordonné plus comp
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Un modèle pour les démonstrations
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Cas inductif : Supposons que P(n) s
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On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
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Une démonstration par induction er
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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Divisons la terrasse en 4 quadrants
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Induction forte Principe d’induct
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Exemple : hauteurs des piles score
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Plan 1. Machine d’état 2. Princi
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Machine d’état Un machine d’é
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Exécution et déterminisme Défini
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Démonstration d’un invariant Th
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Invariant inductif ◮ Définition
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Théorème : La somme des coordonn
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Le problème des cruches Soient deu
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Réponse à l’énigme Théorème
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Exemple Soit le programme suivant (
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A chaque point initial E0, il corre
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Correction de programmes Un program
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Exponentiation : correction partiel
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Interprétation La preuve précéde
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Invariant difficile à trouver Que
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Problème de l’arrêt Théorème
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Résumé ◮ Une machine d’état
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Modélisation par une machine d’
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Ambiguité d’une définition réc
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Arbres On peut définir récursivem
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Fonctions récursives sur les entie
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Définitions mal formées Des probl
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Substitution La fonction subst(f ,
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Modèle d’évaluation avec substi
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Sémantique Essentiellement deux ty
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Exemple : expressions arithmétique
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Expressions arithmétiques Idée g
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Exemple Evaluation de (3 + (2 + 1))
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◮ En appliquant la règle (S-ADD)
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Déterminisme Théorème : Si E →
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Déterminisme et normalisation Corr
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Montrons que eval((E1 + E2)) = n3
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Sémantique opérationnelle : assig
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Synthèse de la sémantique opérat
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Illustration Si on note l’état d
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Déterminisme Lemme (déterminisme)
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Boucles : On peut autoriser qu’un
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Le graphe Chapter 11 des Simplerela
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◮ Le rapport entre les degrés mo
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Isomorphisme 80 Graph Theory Isomor
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◮ Un chemin est un graphe G = (V
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Théorème : Soit T = (V , E) un ar
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◮ Un arbre binaire est un arbre a
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Théorème : Soit v un sommet arbit
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Coloriage de graphes Problème : l
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Equité L’algorithme est-il équi
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Diamètre 326 “mcs” — 2012/6/
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Quelques propriétés 1. f (x) =
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Propriété : On a x 2 = O(x). Dém
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Chapitre 7 Récurrences 333
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Introduction Rappel : La notation a
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Dénombrement : exemple 3 Définiti
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Page 367 and 368: Induction et notation asymptotique
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