1 transparent par page - Montefiore

More documents

Recommendations

Info

Méthode “Deviner-et-Vérifier” Principes : 1. Calculer les quelques premières valeurs de Tn ; 2. Deviner une solution analytique ; 3. Démontrer qu’elle est correcte, par exemple par induction. Application : ◮ Tn = 2Tn−1 − 1 (tours de Hanoï) : ⇒ On devine Tn = 2 n − 1 n 1 2 3 4 5 6 · · · Tn 1 3 7 15 31 63 · · · ◮ On doit démontrer (par induction) que la solution est correcte. 352
Preuve d’une solution par induction Théorème : Tn = 2 n − 1 satisfait la récurrence : T1 = 1 Tn = 2Tn−1 + 1 pour n ≥ 2. Démonstration : Par induction sur n. P(n) = ”Tn = 2 n − 1”. Cas de base : P(1) est vrai car T1 = 1 = 2 1 − 1. Cas inductif : Montrons que Tn = 2 n − 1 (pour n ≥ 2) est vrai dès que Tn−1 = 2 n−1 − 1 est vrai : Tn = 2Tn−1 + 1 = 2(2 n−1 − 1) + 1 = 2 n − 1. 353
Page 1 and 2:
Introduction à la théorie de l’
Page 3 and 4:
Objectifs et plan du cours Objectif
Page 5 and 6:
Partie 1 Techniques de preuves et a
Page 7 and 8:
Plan 1. Définitions 2. Techniques
Page 9 and 10:
Propositions Définition : Une prop
Page 11 and 12:
Prédicats Définition : Une propos
Page 13 and 14:
Autres types de proposition ◮ Un
Page 15 and 16:
Exemples de démonstrations Théor
Page 17 and 18:
Schémas de preuves classiques Quel
Page 19 and 20:
Implications Deux méthode pour pro
Page 21 and 22:
Si et seulement si : exemple Théor
Page 23 and 24:
Preuve par cas On va traiter les de
Page 25 and 26:
Exemple Théorème : √ 2 ∈ R\Q.
Page 27 and 28:
Écrire de bonnes démonstrations E
Page 29 and 30:
Une preuve sans mot Théorème de P
Page 31 and 32:
Découpage + glissement de 2 unité
Page 33 and 34:
Principe du bon ordre Le principe d
Page 35 and 36:
Schéma de preuve par le principe d
Page 37 and 38:
On en déduit que : c−1 i = i=1 E
Page 39 and 40:
◮ Puisque a et b sont plus petits
Page 41 and 42:
Un ensemble bien ordonné plus comp
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Un modèle pour les démonstrations
Page 47 and 48:
Cas inductif : Supposons que P(n) s
Page 49 and 50:
On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
Page 51 and 52:
Une démonstration par induction er
Page 53 and 54:
Dallage On souhaite créer une terr
Page 55 and 56:
Problème : Choisir P(n) = “il ex
Page 57 and 58:
Divisons la terrasse en 4 quadrants
Page 59 and 60:
Induction forte Principe d’induct
Page 61 and 62:
Exemple : hauteurs des piles score
Page 63 and 64:
- On obtient : s. total = score du
Page 65 and 66:
Remarques : ◮ Tout théorème qui
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
◮ Deux types de mouvements : mouv
Page 71 and 72:
◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
Page 73 and 74:
◮ Théorème : Aucune séquence d
Page 75 and 76:
Plan 1. Machine d’état 2. Princi
Page 77 and 78:
Machine d’état Un machine d’é
Page 79 and 80:
Exécution et déterminisme Défini
Page 81 and 82:
Démonstration d’un invariant Th
Page 83 and 84:
Invariant inductif ◮ Définition
Page 85 and 86:
Théorème : La somme des coordonn
Page 87 and 88:
Le problème des cruches Soient deu
Page 89 and 90:
Réponse à l’énigme Théorème
Page 91 and 92:
Exemple Soit le programme suivant (
Page 93 and 94:
A chaque point initial E0, il corre
Page 95 and 96:
Correction de programmes Un program
Page 97 and 98:
Exponentiation : correction partiel
Page 99 and 100:
Interprétation La preuve précéde
Page 101 and 102:
Exercices Montrez par induction for
Page 103 and 104:
Variables dérivées et terminaison
Page 105 and 106:
Démonstration : ◮ Soit la variab
Page 107 and 108:
Invariant difficile à trouver Que
Page 109 and 110:
Exemples d’exécutions Source : a
Page 111 and 112:
Problème de l’arrêt Théorème
Page 113 and 114:
Résumé ◮ Une machine d’état
Page 115 and 116:
Plan 1. Définitions récursives 2.
Page 117 and 118:
Chaîne de caractères Définition
Page 119 and 120:
Preuve sur un ensemble défini réc
Page 121 and 122:
Induction structurelle Le schéma d
Page 123 and 124:
Un exemple (un peu) plus compliqué
Page 125 and 126:
Prédicat (invariant) Théorème :
Page 127 and 128:
Modélisation par une machine d’
Page 129 and 130:
Ambiguité d’une définition réc
Page 131 and 132:
Arbres On peut définir récursivem
Page 133 and 134:
Démonstration : Par induction stru
Page 135 and 136:
Fonctions récursives sur les entie
Page 137 and 138:
Définitions mal formées Des probl
Page 139 and 140:
Expressions arithmétiques Définit
Page 141 and 142:
Substitution La fonction subst(f ,
Page 143 and 144:
Modèle d’évaluation avec substi
Page 145 and 146:
Par la définition de subst, le mem
Page 147 and 148:
Applications Les applications de ce
Page 149 and 150:
Plan 1. Introduction 2. Langage des
Page 151 and 152:
Sémantique formelle Pourquoi défi
Page 153 and 154:
Expressions arithmétiques sur N :
Page 155 and 156:
Sémantique Essentiellement deux ty
Page 157 and 158:
Exemple : expressions arithmétique
Page 159 and 160:
Expressions arithmétiques Idée g
Page 161 and 162:
Exemple Evaluation de (3 + (2 + 1))
Page 163 and 164:
Déterminisme et normalisation Prop
Page 165 and 166:
◮ En appliquant la règle (S-ADD)
Page 167 and 168:
Déterminisme Théorème : Si E →
Page 169 and 170:
Déterminisme et normalisation Corr
Page 171 and 172:
Montrons que eval((E1 + E2)) = n3
Page 173 and 174:
Plan 1. Introduction 2. Langage des
Page 175 and 176:
Un langage de programmation simple
Page 177 and 178:
Sémantique opérationnelle : état
Page 179 and 180:
Sémantique opérationnelle : assig
Page 181 and 182:
Sémantique opérationnelle : condi
Page 183 and 184:
Synthèse de la sémantique opérat
Page 185 and 186:
Illustration Si on note l’état d
Page 187 and 188:
Déterminisme Lemme (déterminisme)
Page 189 and 190:
Boucle infinie Théorème : Pour au
Page 191 and 192:
Effets de bord Dans notre langage,
Page 193 and 194:
Sémantique dénotationnelle Rappel
Page 195 and 196:
Expressions et booléens Les foncti
Page 197 and 198:
Exemple Montrez que evalCom(x := 0;
Page 199 and 200:
Sémantique du while Définition :
Page 201 and 202:
Sémantique du while En conséquenc
Page 203 and 204:
Si evalCom(Cn+1, s) = s ′ , il y
Page 205 and 206:
Au delà de cours Syntaxe : ◮ Les
Page 207 and 208:
Plan 1. Définitions 2. Connexité
Page 209 and 210:
Exemple : ◮ V = {A, B, C, D, E, F
Page 211 and 212:
Exemple : A C B ◮ A et B sont adj
Page 213 and 214:
Extensions des graphes Multigraphes
Page 215 and 216:
Boucles : On peut autoriser qu’un
Page 217 and 218:
Applications Les graphes peuvent ê
Page 219 and 220:
Le graphe Chapter 11 des Simplerela
Page 221 and 222:
◮ Le rapport entre les degrés mo
Page 223 and 224:
Isomorphisme 80 Graph Theory Isomor
Page 225 and 226:
◮ Un chemin est un graphe G = (V
Page 227 and 228:
Parcours Définition : Un parcours
Page 229 and 230:
Théorème : Soit G un graphe dirig
Page 231 and 232:
Graphes connexes Définition : Un g
Page 233 and 234:
Théorème : Tout graphe G = (V , E
Page 235 and 236:
Remarques à propos de la démonstr
Page 237 and 238:
Théorème : Soit T = (V , E) un ar
Page 239 and 240:
Page 241 and 242:
Page 243 and 244:
Théorème : Tout graphe connexe G
Page 245 and 246:
◮ Un arbre binaire est un arbre a
Page 247 and 248:
Définition : Le diamètre d’un g
Page 249 and 250:
Théorème : Soit v un sommet arbit
Page 251 and 252:
Coloriage de graphes Problème : l
Page 253 and 254:
Associons une couleur à chaque pla
Page 255 and 256:
k-coloriages Définition : Un graph
Page 257 and 258:
◮ Cas inductif : Supposons que P(
Page 259 and 260:
Tout graphe biparti peut donc être
Page 261 and 262:
Définition : L’ensemble des gar
Page 263 and 264:
⇐ ◮ Supposons que la condition
Page 265 and 266:
Un énoncé formel Définition : So
Page 267 and 268:
Problème des mariages stables Déf
Page 269 and 270:
Terminaison Théorème : L’algori
Page 271 and 272:
Correction partielle Théorème : T
Page 273 and 274:
Equité L’algorithme est-il équi
Page 275 and 276:
Réseaux de communications Hypothè
Page 277 and 278:
Diamètre 326 “mcs” — 2012/6/
Page 279 and 280:
Congestion Définition : ◮ La con
Page 281 and 282:
Tableau à deux dimensions in in
Page 283 and 284:
Tableau à deux dimensions Réseau
Page 285 and 286:
“mcs” — 2012/6/4 — 15:49
Page 287 and 288:
Propriétés : commutateurs et diam
Page 289 and 290:
10.9. Beneˇs Network 337 Exemple p
Page 291 and 292:
Chaque nœud de G est incident à e
Page 293 and 294:
Réseau butterfly 332 Cas de base :
Page 295 and 296:
Partie 3 Outils pour l’analyse d
Page 297 and 298:
Exemple introductif : quicksort Par
Page 299 and 300:
Quicksort Partition(A, lo, hi) 1 i
Page 301 and 302: Formulation analytique Par symétri
Page 303 and 304: s worthwhile to use your computer t
Page 305 and 306: Chapitre 6 Sommations et comporteme
Page 307 and 308: Sommations Définition : Soit une s
Page 309 and 310: Preuve d’une solution analytique
Page 311 and 312: Trouver une solution analytique Si
Page 313 and 314: Corollaire : Si |z| < 1, alors n n
Page 315 and 316: Un autre exemple Problème 6 : Dér
Page 317 and 318: Perturbation indirecte Dans ce cas,
Page 319 and 320: Série harmonique Complexité moyen
Page 321 and 322: Nombres harmoniques Une meilleure a
Page 323 and 324: Sommes doubles Généralement, il s
Page 325 and 326: Plan 1. Sommations Définitions Pre
Page 327 and 328: Quelques propriétés des notations
Page 329 and 330: Quelques propriétés 1. f (x) =
Page 331 and 332: Propriété : On a x 2 = O(x). Dém
Page 333 and 334: Chapitre 7 Récurrences 333
Page 335 and 336: Introduction Rappel : La notation a
Page 337 and 338: Complexité d’algorithmes récurs
Page 339 and 340: Propriété (borne supérieure) : O
Page 341 and 342: Solution : Soit Fn le nombre de pro
Page 343 and 344: Dénombrement : exemple 3 Définiti
Page 345 and 346: Démonstration : Par induction sur
Page 347 and 348: Nombres de Catalan Les nombres : b0
Page 349 and 350: Calculer les valeurs d’une récur
Page 351: Techniques de résolution de récur
Page 355 and 356: Méthode “Plug-and-Chug” (force
Page 357 and 358: 4. Trouver une solution analytique
Page 359 and 360: Récurrence linéaire d’ordre 1 L
Page 361 and 362: Arbres de récursion Approche graph
Page 363 and 364: log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
Page 365 and 366: Preuve d’une borne supérieure Th
Page 367 and 368: Induction et notation asymptotique
Page 369 and 370: log 2 n apple h apple log 4 n log 3
Page 371 and 372: Synthèse Trois approches empirique
Page 373 and 374: Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
Page 375 and 376: 1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
Page 377 and 378: Résolution des récurrences linéa
Page 379 and 380: Etape 3 : Trouver une solution part
Page 381 and 382: Exemple Résolvons la récurrence d
Page 383 and 384: Etape 3 : Trouver une solution part
Page 385 and 386: Etape 5 : Déterminer les valeurs d
Page 387 and 388: Un premier théorème Théorème (M
Page 389 and 390: Un second théorème plus général
Page 391 and 392: Exemple d’application ◮ Soit la
Page 393 and 394: Changement de variables Un changeme
Page 395 and 396: Comparaisons de récurrences : lin
Page 397 and 398: Chapitre 8 Fonctions génératrices
Page 399 and 400: Introduction Les fonctions généra
Page 401 and 402: Exemples : ◮ 〈0, 0, 0, 0, . . .
Page 403 and 404:
Multiplication par une constante Pr
Page 405 and 406:
Exemples ◮ Multiplication par une
Page 407 and 408:
Dérivation et intégration Propri
Page 409 and 410:
Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
Page 411 and 412:
Sommes partielles Propriété : Si
Page 413 and 414:
Extraction des coefficients Propri
Page 415 and 416:
Formule de Newton généralisée So
Page 417 and 418:
Synthèse : opérations entre fonct
Page 419 and 420:
Résolution de récurrences Princip
Page 421 and 422:
Extraction des coefficients Calculo
Page 423 and 424:
Récurrences linéaires (homogènes
Page 425 and 426:
Nombres de Catalan Théorème : Soi
Page 427 and 428:
Plan 1. Définitions et opérations
Page 429 and 430:
Classes combinatoires Problème gé
Page 431 and 432:
Application 2 : nombre d’arbres b
Page 433 and 434:
Démonstration : 1. Soit an et bn l
Page 435 and 436:
Applications : choix avec répétit
Page 437 and 438:
Applications : comptage difficile P
Page 439 and 440:
◮ Fonction génératrice pour le
show all

1 transparent par page - Montefiore

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?