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Arbres couvrants Définition : Soit G = (V , E) un graphe. Un arbre T = (V ′ , E ′ ) est un arbre couvrant de G si V ′ = V et E ′ ⊆ E. Exemple : 242
Théorème : Tout graphe connexe G = (V , E) contient un arbre couvrant. Démonstration : ◮ Par l’absurde, supposons que tout sous-graphe connexe T = (V , E ′ ) de G soit nécessairement cyclique. ◮ Soit T = (V , E ′ ) un de ces sous-graphes qui possède le plus petit nombre possible d’arêtes. ◮ T admet un cycle : v0—v1, v1—v2, . . . , vn—v0. ◮ Supposons que l’on retire l’arête vn—v0. Soit x, y une paire de sommets quelconque. ◮ Si x et y étaient connectés par un parcours ne contenant pas vn—v0, ils le restent. ◮ Sinon, ils restent connectés par un parcours contenant le reste du cycle. ◮ Contradiction : T avait le plus petit nombre possible d’arêtes. ◮ Donc, T est acyclique. 243
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Autres types de proposition ◮ Un
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Implications Deux méthode pour pro
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Preuve par cas On va traiter les de
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Écrire de bonnes démonstrations E
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Découpage + glissement de 2 unité
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Principe du bon ordre Le principe d
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Schéma de preuve par le principe d
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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Divisons la terrasse en 4 quadrants
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Exemple : hauteurs des piles score
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Invariant inductif ◮ Définition
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Sémantique Essentiellement deux ty
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Expressions arithmétiques Idée g
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◮ En appliquant la règle (S-ADD)
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Déterminisme et normalisation Corr
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Sémantique opérationnelle : assig
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Sémantique opérationnelle : condi
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Synthèse de la sémantique opérat
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Illustration Si on note l’état d
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Déterminisme Lemme (déterminisme)
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Boucle infinie Théorème : Pour au
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Formulation analytique Par symétri
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Trouver une solution analytique Si
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Perturbation indirecte Dans ce cas,
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Série harmonique Complexité moyen
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Nombres harmoniques Une meilleure a
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Sommes doubles Généralement, il s
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Quelques propriétés des notations
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Quelques propriétés 1. f (x) =
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Propriété : On a x 2 = O(x). Dém
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Chapitre 7 Récurrences 333
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Introduction Rappel : La notation a
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Dénombrement : exemple 3 Définiti
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Démonstration : Par induction sur
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Nombres de Catalan Les nombres : b0
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Calculer les valeurs d’une récur
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Techniques de résolution de récur
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Preuve d’une solution par inducti
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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4. Trouver une solution analytique
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Etape 5 : Déterminer les valeurs d
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Un second théorème plus général
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Exemple d’application ◮ Soit la
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Chapitre 8 Fonctions génératrices
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Introduction Les fonctions généra
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Multiplication par une constante Pr
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Exemples ◮ Multiplication par une
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Dérivation et intégration Propri
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Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
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Sommes partielles Propriété : Si
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Extraction des coefficients Propri
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Formule de Newton généralisée So
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Synthèse : opérations entre fonct
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Résolution de récurrences Princip
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Extraction des coefficients Calculo
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Récurrences linéaires (homogènes
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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Plan 1. Définitions et opérations
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Classes combinatoires Problème gé
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Applications : choix avec répétit
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show all

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