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Sémantique opérationnelle La signification d’un programme est définie par une modélisation des étapes de son exécution. Les programmes suivants sont très différents d’une point de vue sémantique opérationnelle : x = 0; while x < 10 x=x+1 ; x = 10; L’exécution d’un programme peut être modélisée par une machine d’état. 158
Expressions arithmétiques Idée générale : chaque étape de l’évaluation d’une expression consiste à simplifier le terme le plus à gauche (par convention). Exemple : ((1 + 2) + (4 + 5)) → (3 + (4 + 5)) → (3 + 9) → 12 Une machine d’état pour l’évaluation des expressions arithmétiques (addition uniquement) : ◮ Q = Exp, l’ensemble des expressions ◮ Q0 = {E}, où E ∈ Exp est l’expression à évaluer. ◮ δ est défini récursivement : ◮ Cas de base : ∀n1, n2 ∈ N : (n1 + n2) → n3 ∈ δ, où n3 = n1 + n2 ◮ Cas récursif : ◮ Si E2 ∈ Exp et E1 → E ′ 1 ∈ δ, alors (E1 + E2) → (E ′ 1 + E2) ∈ δ. ◮ Si E → E ′ ∈ δ, alors (n + E) → (n + E ′ ) ∈ δ. (Exercice : ajoutez la multiplication et simplifiez le terme à droite d’abord) 159
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Écrire de bonnes démonstrations E
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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◮ Un chemin est un graphe G = (V
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Un énoncé formel Définition : So
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Terminaison Théorème : L’algori
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Correction partielle Théorème : T
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Equité L’algorithme est-il équi
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Réseaux de communications Hypothè
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Introduction Rappel : La notation a
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Preuve d’une solution par inducti
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Un second théorème plus général
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Changement de variables Un changeme
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Résolution de récurrences Princip
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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