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ecause it is one manifestation of the difference between syntax and semantics. The difference should become clearer once we have studied the various semantics which follow. Syntaxe concrète versus syntaxe abstraite On distingue deux types de syntaxe : Abstract vs Concrete Syntax Saying that we are using abstract syntax means that all our programs are parsed before we start to worry about them. In this course, we will never be worried about where the brackets are in an ◮ Syntaxe concrète : programme représenté par la suite de caractères tapés par l’utilisateur ◮ Exemple expression : 3 + 4 × like 5 3 + 4 × 5 ◮ Syntaxe abstraite : programme représenté par une structure basée because we will never deal with such unparsed expressions. sur la définition récursive, typiquement un arbre Using abstract syntax in fact means we’re dealing with trees such as ◮ Exemple : + × 3 4 although we use linear syntax like ((3 + 4) × 5) forthem. In this course, brackets don’t matter because we’re always using the linear syntax as a shorthand for the abstract, tree-based syntax. But of course, when there’s ambiguity about what abstract syntax tree is meant by a particular piece of linear “shorthand”, insert brackets if you think it will help. Passer de la syntaxe concrète à la syntaxe abstraite s’appelle l’analyse syntaxique du programme. Dans ce chapitre, on supposera toujours que la syntaxe abstraite est connue (pas d’ambiguïté sur la manière dont l’expression est obtenue). Note that taking an abstract, tree-view of syntax makes it clear that +, × and so on are program-forming operations: theytaketwoprogramsandgive you a new one. One of the points of semantics, particularly denotational semantics, is to show that these operations on programs have corresponding 5 154
Sémantique Essentiellement deux types de sémantiques : ◮ Sémantique dénotationnelle : la signification d’un programme est déterminée par une fonction, la dénotation, associant une valeur à un programme. ◮ Sémantique opérationnelle : la signification d’un programme est déterminée par le suite des états de la machine qui l’exécute. 155
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Partie 1 Techniques de preuves et a
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Propositions Définition : Une prop
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Prédicats Définition : Une propos
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Autres types de proposition ◮ Un
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Exemples de démonstrations Théor
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Schémas de preuves classiques Quel
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Implications Deux méthode pour pro
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Si et seulement si : exemple Théor
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Preuve par cas On va traiter les de
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Exemple Théorème : √ 2 ∈ R\Q.
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Écrire de bonnes démonstrations E
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Découpage + glissement de 2 unité
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Principe du bon ordre Le principe d
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Schéma de preuve par le principe d
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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Un ensemble bien ordonné plus comp
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Un modèle pour les démonstrations
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Cas inductif : Supposons que P(n) s
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On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
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Une démonstration par induction er
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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Divisons la terrasse en 4 quadrants
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Induction forte Principe d’induct
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Exemple : hauteurs des piles score
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Machine d’état Un machine d’é
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Exécution et déterminisme Défini
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Démonstration d’un invariant Th
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Invariant inductif ◮ Définition
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Théorème : La somme des coordonn
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Le problème des cruches Soient deu
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Réponse à l’énigme Théorème
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Exemple Soit le programme suivant (
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A chaque point initial E0, il corre
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Correction de programmes Un program
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Exponentiation : correction partiel
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Interprétation La preuve précéde
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Exercices Montrez par induction for
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Au delà de cours Syntaxe : ◮ Les
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Exemple : ◮ V = {A, B, C, D, E, F
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Exemple : A C B ◮ A et B sont adj
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Extensions des graphes Multigraphes
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Boucles : On peut autoriser qu’un
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Applications Les graphes peuvent ê
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Le graphe Chapter 11 des Simplerela
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◮ Le rapport entre les degrés mo
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Isomorphisme 80 Graph Theory Isomor
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◮ Un chemin est un graphe G = (V
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Parcours Définition : Un parcours
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Théorème : Soit G un graphe dirig
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Graphes connexes Définition : Un g
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Théorème : Tout graphe G = (V , E
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Remarques à propos de la démonstr
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Théorème : Soit T = (V , E) un ar
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Théorème : Tout graphe connexe G
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◮ Un arbre binaire est un arbre a
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Définition : Le diamètre d’un g
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Théorème : Soit v un sommet arbit
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Coloriage de graphes Problème : l
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Associons une couleur à chaque pla
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k-coloriages Définition : Un graph
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◮ Cas inductif : Supposons que P(
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Tout graphe biparti peut donc être
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Définition : L’ensemble des gar
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Un énoncé formel Définition : So
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Problème des mariages stables Déf
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Terminaison Théorème : L’algori
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Correction partielle Théorème : T
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Equité L’algorithme est-il équi
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Réseaux de communications Hypothè
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Diamètre 326 “mcs” — 2012/6/
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Quelques propriétés des notations
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Quelques propriétés 1. f (x) =
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Propriété : On a x 2 = O(x). Dém
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Chapitre 7 Récurrences 333
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Introduction Rappel : La notation a
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Dénombrement : exemple 3 Définiti
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Démonstration : Par induction sur
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Nombres de Catalan Les nombres : b0
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Calculer les valeurs d’une récur
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Techniques de résolution de récur
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Preuve d’une solution par inducti
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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4. Trouver une solution analytique
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Etape 5 : Déterminer les valeurs d
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Un premier théorème Théorème (M
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Un second théorème plus général
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Exemple d’application ◮ Soit la
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Chapitre 8 Fonctions génératrices
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Introduction Les fonctions généra
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Exemples : ◮ 〈0, 0, 0, 0, . . .
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Multiplication par une constante Pr
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Exemples ◮ Multiplication par une
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Dérivation et intégration Propri
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Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
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Sommes partielles Propriété : Si
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Extraction des coefficients Propri
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Formule de Newton généralisée So
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Résolution de récurrences Princip
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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