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Implications Deux méthode pour prouver que P implique Q (noté P ⇒ Q) 1. Supposez que P est vrai et montrez que Q vrai en découle. Théorème : Si 0 ≤ x ≤ 2, alors −x 3 + 4x + 1 > 0 Démonstration : ◮ Supposons que 0 ≤ x ≤ 2. ◮ Alors x, 2 − x et 2 + x sont tous non négatifs et leur produit l’est également. ◮ Ajouter 1 à ce produit donne un nombre strictement positif : x(2 − x)(2 + x) + 1 > 0 ◮ En multipliant les termes, on obtient : −x 3 + 4x + 1 > 0 18
Implications Deux méthode pour prouver que P implique Q (noté P ⇒ Q) ¬Q ⇒ ¬P 2. On démontre la contraposée. Régle d’inférence : P ⇒ Q Théorème : Si r est irrationnel, alors √ r est aussi irrationnel Démonstration : ◮ Par contraposition, il suffit de démontrer que si √ r est rationnel, alors r est rationnel. ◮ Supposons que √ r est rationnel. Il existe alors des entiers m et n tels que : √ r = m n ◮ En mettant au carré les deux côtés de l’équation, on obtient : r = m2 n 2 ◮ Etant donné que m 2 et n 2 sont des entiers, on a montré que r était rationnel. 19
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