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Quelques graphes <strong>par</strong>ticuliers ◮ Kn, le graphe complet contenant n sommets : ◮ Le graphe vide contenant n sommets : 224
◮ Un chemin est un graphe G = (V , E) où ◮ V = {v1, v2, . . . , vn}, ◮ E = {v1—v2, v2—v3, . . . , vn−1—vn}, ◮ n ≥ 1, ◮ les sommets v1, v2, . . . , vn sont tous distincts, ◮ les sommets v1 et vn sont appelés les extrémités du chemin. La longueur d’un chemin contenant n sommets est n − 1. Soit G = (V , E) un graphe, et u, v ∈ V . On dit qu’il existe un chemin de u à v dans G s’il existe un sous-graphe de G qui est un chemin à extrémités u et v. 225
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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Un ensemble bien ordonné plus comp
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On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Invariant inductif ◮ Définition
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Déterminisme et normalisation Corr
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Réseaux de communications Hypothè
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Diamètre 326 “mcs” — 2012/6/
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Congestion Définition : ◮ La con
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Tableau à deux dimensions Réseau
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“mcs” — 2012/6/4 — 15:49
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Formulation analytique Par symétri
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s worthwhile to use your computer t
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Quelques propriétés des notations
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Propriété : On a x 2 = O(x). Dém
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Chapitre 7 Récurrences 333
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Dénombrement : exemple 3 Définiti
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Démonstration : Par induction sur
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Nombres de Catalan Les nombres : b0
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Calculer les valeurs d’une récur
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Techniques de résolution de récur
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Preuve d’une solution par inducti
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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4. Trouver une solution analytique
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Etape 5 : Déterminer les valeurs d
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Un premier théorème Théorème (M
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Un second théorème plus général
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Exemple d’application ◮ Soit la
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Chapitre 8 Fonctions génératrices
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Introduction Les fonctions généra
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Exemples : ◮ 〈0, 0, 0, 0, . . .
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Multiplication par une constante Pr
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Exemples ◮ Multiplication par une
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Dérivation et intégration Propri
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Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
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Sommes partielles Propriété : Si
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Extraction des coefficients Propri
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Formule de Newton généralisée So
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Synthèse : opérations entre fonct
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Résolution de récurrences Princip
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Extraction des coefficients Calculo
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Récurrences linéaires (homogènes
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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Classes combinatoires Problème gé
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Application 2 : nombre d’arbres b
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◮ Fonction génératrice pour le
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